Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » ОГЭ - 9 класс » Тренировочные варианты 2020




 Страница 1 из 4 [ Сообщений: 35 ] На страницу 1, 2, 3, 4  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тренировочный вариант №238 (продвинутая версия)
 Сообщение Добавлено: 08 янв 2020, 13:27 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5639
http://alexlarin.net/gia/trvar238_1_oge.html


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 09 янв 2020, 14:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 янв 2020, 23:33
Сообщений: 7
Выбрал для решения наиболее интересную задачу 7.
Сразу видно, что имеем однородную функцию трёх переменных: каждый моном и в числителе и в знаменателе имеет степень 3. Поэтому одну переменную можем зафиксировать, скажем c=1 . Теперь выражение имеет вид

(a+b+1)*((a+b)^2+(a+b+4)^2)/(a*b)

Мы видим, что числитель зависит от a+b и является возрастающей функцией от a+b . Из неравенства о сред. ариф. и сред. геом. следует, что при постоянном произведении (в знаменателе) числитель будет минимальным при a=b . Таким образом мы свели исходную задачу к минимизации функции одной переменной

16a+48/a+16/a^2 = (2a+...+2a) (8 слагаемых) +(8/a+...+8/a) (6 слагаемых) + 16/a^2

Так как произведение этих слагаемых равно константе, то из того же неравенства о сред. ариф. и сред. геом. следует, что минимальное значение сумма будет иметь при равных слагаемых. Эти 15 слагаемых равны т. и т. т. когда a=2 . Отсюда окончательно получаем

Ответ: минимум = 100 при a=b=2, c=1 или в силу однородности при a=b=2*t, c=t , где t любое положительное число.

Кстати, Maple шутя справляется с этим примером:

Код:
restart;
minimize((a+b+c)*((a+b)^2+(a+b+4*c)^2)/(a*b*c), a=0..infinity, b=0..infinity, c=0..infinity, location);

Результат: 100, {[{a = 2*c, b = 2*c, c = c}, 100]}

Намного комфортнее решать, если уже знаешь ответ.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 09 янв 2020, 14:56 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 488
Откуда: Ставрополь
Kitonum писал(а):
Выбрал для решения наиболее интересную задачу 7.
Сразу видно, что имеем однородную функцию трёх переменных: каждый моном и в числителе и в знаменателе имеет степень 3. Поэтому одну переменную можем зафиксировать, скажем c=1 . Теперь выражение имеет вид

(a+b+1)*((a+b)^2+(a+b+4)^2)/(a*b)

Мы видим, что числитель зависит от a+b и является возрастающей функцией от a+b . Из неравенства о сред. ариф. и сред. геом. следует, что при постоянном произведении (в знаменателе) числитель будет минимальным при a=b . Таким образом мы свели исходную задачу к минимизации функции одной переменной

16a+48/a+16/a^2 = (2a+...+2a) (8 слагаемых) +(8/a+...+8/a) (6 слагаемых) + 16/a^2

Так как произведение этих слагаемых равно константе, то из того же неравенства о сред. ариф. и сред. геом. следует, что минимальное значение сумма будет иметь при равных слагаемых. Эти 15 слагаемых равны т. и т. т. когда a=2 . Отсюда окончательно получаем

Ответ: минимум = 100 при a=b=2, c=1 или в силу однородности при a=b=2*t, c=t , где t любое положительное число.

Кстати, Maple шутя справляется с этим примером:

Код:
restart;
minimize((a+b+c)*((a+b)^2+(a+b+4*c)^2)/(a*b*c), a=0..infinity, b=0..infinity, c=0..infinity, location);

Результат: 100, {[{a = 2*c, b = 2*c, c = c}, 100]}

Намного комфортнее решать, если уже знаешь ответ.


Да, ответ, конечно, верный.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 09 янв 2020, 15:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 янв 2020, 23:33
Сообщений: 7
hpbhpb писал(а):
Да, ответ, конечно, верный.


А по решению есть замечания?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 09 янв 2020, 16:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 488
Откуда: Ставрополь
Kitonum писал(а):
hpbhpb писал(а):
Да, ответ, конечно, верный.


А по решению есть замечания?


Нет замечаний. Всё правильно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 10 янв 2020, 11:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4858
Kitonum писал(а):

А по решению есть замечания?

Как бы я рекомендовал ученикам решать подобные задачи в условиях экзамена: предлагаются 3 варианта ответов в целых числах, методом пристального взгляда заметим, что для получения и оценки целочисленного результата целесообразно взять например a=b=1/2, c=1/4. Подстановкой в исходное выражение получаем 100. Тогда выбираем ответ №1.
P.S. Предполагаю что составитель варианта, предусматривал подобный уровень рассуждений. По крайней мере, я всегда советую ученикам: искать и находить как можно более простое (рациональное) решение. И постоянно тренируясь в этом, развивать интуицию (т.е ЧУЙКУ) . Зачастую это важнее наукообразия.:) Успехов

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2020, 07:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 13 янв 2019, 09:04
Сообщений: 209
Kitonum писал(а):
Выбрал для решения наиболее интересную задачу 7.
Сразу видно, что имеем однородную функцию трёх переменных: каждый моном и в числителе и в знаменателе имеет степень 3. Поэтому одну переменную можем зафиксировать, скажем c=1 . Теперь выражение имеет вид

(a+b+1)*((a+b)^2+(a+b+4)^2)/(a*b)

Мы видим, что числитель зависит от a+b и является возрастающей функцией от a+b . Из неравенства о сред. ариф. и сред. геом. следует, что при постоянном произведении (в знаменателе) числитель будет минимальным при a=b . Таким образом мы свели исходную задачу к минимизации функции одной переменной

16a+48/a+16/a^2 = (2a+...+2a) (8 слагаемых) +(8/a+...+8/a) (6 слагаемых) + 16/a^2

Так как произведение этих слагаемых равно константе, то из того же неравенства о сред. ариф. и сред. геом. следует, что минимальное значение сумма будет иметь при равных слагаемых. Эти 15 слагаемых равны т. и т. т. когда a=2 . Отсюда окончательно получаем

Ответ: минимум = 100 при a=b=2, c=1 или в силу однородности при a=b=2*t, c=t , где t любое положительное число.

Кстати, Maple шутя справляется с этим примером:

Код:
restart;
minimize((a+b+c)*((a+b)^2+(a+b+4*c)^2)/(a*b*c), a=0..infinity, b=0..infinity, c=0..infinity, location);

Результат: 100, {[{a = 2*c, b = 2*c, c = c}, 100]}

Намного комфортнее решать, если уже знаешь ответ.


Позвольте поучаствовать в разговоре и высказать несколько не замечаний, а мыслей вслух.

Первое. Если первым действием разделить числитель и знаменатель на c^3, сократить и сделать замену a/c=x, b/c=y, то результат будет таким же, но при этом не надо ссылаться на однородную функцию (на случай, если ее кто-то не знает) и не надо выбирать значение с, а то могут возникнуть вопросы: а почему 1, а не 2 и не 1/4.

Второе. Фраза "при постоянном произведении (в знаменателе)", на мой взгляд, использована неверно, ведь параметры могут принимать различные значения и их произведение не обязано быть постоянным. Более правильно было бы сказать, что если значения a0 и b0 минимизируют значение дроби, то a0=b0. Иначе если a0 не равно b0, то существуют такие a1=b1=sqrt(a0*b0), что знаменатель дроби будет одинаковым a0*b0=a1*b1, а числитель меньше, поскольку a0+b0>2sqrt(a0*b0)=2sqrt(a1*b1)=a1+b1. Но в таком виде это несколько уводит в сторону, поэтому лучше просто заменить a+b на 2sqrt(a*b), перейти к неравенству, которое обращается в равенство только при a=b, и сделать замену sqrt (a*b)=z. Результат будет такой же.

Третье. Относительно минимизации функции одной переменной поправок нет, есть только удивление: как до этого можно было додуматься?! Хотя перепробовав различные варианты, я понял, что, поставив цель - найти равные слагаемые, произведение которых равно числу, рано или поздно можно было прийти к предложенному варианту, все-таки этот вариант вызывает восхищение. Вопрос лишь в том, как можно было бы это сделать не зная ответа? По крайней мере, на моем уровне, я пока не вижу другого способа, как сначала догадаться, что является ответом, т.е. развивать ЧУЙКУ, а потом доказать, что эта догадка правильная.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №238 (продвинутая версия)
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2020, 07:56 
Не в сети

Зарегистрирован: 13 янв 2019, 09:04
Сообщений: 209
Задача 21.
[0;11-sqrt(52+10sqrt(2))]U(3;11-sqrt(52-10sqrt(2))]U(5;11]U(17;11+sqrt(52-10sqrt(2))]U(19;11+sqrt(52+10sqrt(2))]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение задачи 7
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2020, 08:01 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 4858
SergeiB писал(а):
По крайней мере, на моем уровне, я пока не вижу другого способа, как сначала догадаться, что является ответом, т.е. развивать ЧУЙКУ, а потом доказать, что эта догадка правильная.

.. О пристальном взгляде на условие... и чуйке... "Пристально" посмотрев на сомножитель `(a+b)^2+(a+b+4*c)^2` и опираясь на "чуйку", приходим к самому простому предположению, для получения целочисленного значения этого сомножителя `a=b=1/2, c=1/4`. Так же легко проверяем, что при таких значениях сомножитель`(a+b+c)/(a*b*c)`тоже принимает целочисленное значение... а все исходное выражение имеет значение 100.
P.S. Примерно пару минут пристально смотрел на условие и предположив `a=b=1/2, c=1/4`, на третьей минуте пришел к ответу №1. Других предположений о значениях переменных, даже не пришлось проверять. Думаю что показанное в начале ветки решение потребовало значительно больше времени. :)

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №238 (продвинутая версия)
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2020, 08:41 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 488
Откуда: Ставрополь
SergeiB писал(а):
Задача 21.
[0;11-sqrt(52+10sqrt(2))]U(3;11-sqrt(52-10sqrt(2))]U(5;11]U(17;11+sqrt(52-10sqrt(2))]U(19;11+sqrt(52+10sqrt(2))]


Да, всё верно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 4 [ Сообщений: 35 ] На страницу 1, 2, 3, 4  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: