Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!
Если совсем наивно - полный перебор вида a^2 = 625 - t^2, t = 0,1,...,25 и проверка полученных a и b в поисках c.
Если более осмысленно, то задача представить число в виде суммы квадратов хорошо известна. Также, как и ее решение. Так что пар (a,b), которые могли бы подойти, мало, и они эффективно ищутся (не школьными методами, но доступными школьнику).
Опуская детали, если |z| = a, то |z^2| = a^2, |1+2i|^2=5. И.т.д. в том же духе.
UPD. А вообще задачка сложнее, чем кажется. Потому, что, вообще говоря, корни в левой части не обязаны быть рациональными, так что отделаться перебором полных квадратов не получится.
Итого - как решить без большого перебора, я не знаю. Может там подразумевается игра с хитрыми скалярными (даже и псевдо-скалярными) произведениями и неравенством Коши-Буняковского для них, но это еще более нешкольно.
UPD. Полный список нетривиальных (ab!=0) решений (спасибо компьютеру). Если кто-нибудь знает, как его получить разумно - буду рад услышать.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!
alex123 писал(а):
UPD. А вообще задачка сложнее, чем кажется. Потому, что, вообще говоря, корни в левой части не обязаны быть рациональными, так что отделаться перебором полных квадратов не получится.
Итого - как решить без большого перебора, я не знаю. Может там подразумевается игра с хитрыми скалярными (даже и псевдо-скалярными) произведениями и неравенством Коши-Буняковского для них, но это еще более нешкольно.
1. a) `0<=a<=25, quad 0<=b<=25, quad 0<=c<=25;`
b) уравнение легко решается для случаев: ` a in {0; quad 25}, quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25};`
c) достаточно решить для случаев: ` a in {0; quad 25}`.
2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие
комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`
3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`
_________________ Никуда не тороплюсь!
Последний раз редактировалось OlG 28 мар 2015, 17:39, всего редактировалось 1 раз.
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
[quote="alex123" UPD. Полный список нетривиальных (ab!=0) решений (спасибо компьютеру). Если кто-нибудь знает, как его получить разумно - буду рад услышать.
a b c 5 5 23 5 23 5 7 15 15 7 24 0 10 10 17 10 17 10 15 7 15 15 15 7 15 20 0 17 10 10 20 15 0 20 20 -7 20 24 -15 23 5 5 24 7 0 24 20 -15[/quote] А почему в полный нетривиальный список входят отрицательные с?
[quote="alex123" UPD. Полный список нетривиальных (ab!=0) решений (спасибо компьютеру). Если кто-нибудь знает, как его получить разумно - буду рад услышать.
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!
1. a) `0<=a<=25, quad 0<=b<=25, quad 0<=c<=25;`
b) уравнение легко решается для случаев: ` a in {0; quad 25}, quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25};`
c) достаточно решить для случаев: ` a in {0; quad 25}`.
2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие
комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`
3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`
Спасибо всем откликнувшимся! Уважаемый OlG! Объясните пожалуйста подробно пункты 1с) и 2 Вашей решении.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
atakga писал(а):
OlG писал(а):
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!
1. a) `0<=a<=25, quad 0<=b<=25, quad 0<=c<=25;`
b) уравнение легко решается для случаев: ` a in {0; quad 25}, quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25};`
c) достаточно решить для случаев: ` a in {0; quad 25}`.
2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие
комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`
3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`
Спасибо всем откликнувшимся! Уважаемый OlG! Объясните пожалуйста подробно пункты 1с) и 2 Вашей решении.
1. с) Уравнение инвариантно относительно перестановок `a; quad b; quad c`, поэтому достаточно
найти тройки решений `(a; quad b; quad c)` для `a in {0; quad 25} quad` (тройки решений для `quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25}`
получаются перестановкой `a; quad b; quad c` в найденных решениях для `a in {0; quad 25}`).
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения