Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целую часть чисел: 1) `x=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`; 2) `x=1/(root(3)(4))+1/(root(3)(5))+...+1/(root(3)(1000000))`. Спасибо заранее!
Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
Подробности:
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целую часть чисел: 1) `x=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`; 2) `x=1/(root(3)(4))+1/(root(3)(5))+...+1/(root(3)(1000000))`. Спасибо заранее!
Докажите неравенства (`varepsilon >0`) `int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`, сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
Иваныч писал(а):
Подробности:
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целую часть чисел: 1) `x=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`; 2) `x=1/(root(3)(4))+1/(root(3)(5))+...+1/(root(3)(1000000))`. Спасибо заранее!
Докажите неравенства (`varepsilon >0`) `int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`, сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.
С неравенством что-то не так. Проверьте при N=1 или N=4,`epsilon=1/2`.
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
[quote="Иваныч" `int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`, сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.[/quote] А что не так с `N=4`?[/quote] При N=4 `3=2sqrtN-1=int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)< 1+1/sqrt2+1/sqrt3+1/2~~2.78< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)=4` - противоречие Да, я ошибся в вычислении определенного интеграла. При N=4 `2=2sqrtN-2=int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)< 1+1/sqrt2+1/sqrt3+1/2~~2.78< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)=3` - тогда противоречия нет.
_________________ Сопротивление бесполезно.
Последний раз редактировалось vyv2 31 мар 2015, 22:50, всего редактировалось 2 раз(а).
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целую часть чисел: 1) `S=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`;
Оценим сумму сверху с помощью "телескопического" суммирования `1+1/sqrt(2)+1/sqrt(3)+...1/sqrt(n)<1+2(1/(1+sqrt(2))+1/(sqrt(2)+sqrt(3))+...+1/(sqrt(n-1)+sqrt(n)))=1+2(sqrt(2)-1+sqrt(3)-sqrt(2)+...+sqrt(n)-sqrt(n-1))=1+2(sqrt(n)-1)`. Аналогично находим оценку снизу: `2(sqrt(n+1)-1)<S`. Подстановка `n=1016064` дает `2014,009921<S<2015`. Таким образом, ответ `2014`.
Последний раз редактировалось michel 01 апр 2015, 19:51, всего редактировалось 1 раз.
Очень благодарен Вам Иваныч, michel! Когда есть различные решения одной и той же задачи, это очень хорошо. Иваныч Ваше решение мне очень понравился. Решение michel также очень красиво! Спасибо всем откликнувшимся!
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения