Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 10 из 28 [ Сообщений: 271 ] На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 28  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 21:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07
Сообщений: 3189
Откуда: Томск
BigGameHunter писал(а):
radix писал(а):
Хотя что-то мне подсказывает, что можно найти какую-то лазейку и решить проще.
Можно так: `16t^12+8t^9+4t^6+t^4+2t^3!=-1` т.к `x=(y^10+y^6)/(x^4+y^4)>0`)

А можно после слов "т.к." чуть подробнее. :-s
UPD. Поняла. Если `x>0`, значит и `t>0`

_________________
Любовь правит миром (uStas и др.)


Последний раз редактировалось olka-109 12 июл 2016, 22:31, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 21:40 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 931
Откуда: Казань
radix писал(а):
Хотя что-то мне подсказывает, что можно найти какую-то лазейку и решить проще.

Да, лазейка есть. Второе уравнение имеет вид `f(x^2)=f(2y)`, где `f(t)=t^3 +t` - возрастающая функция. Отсюда `x^2 =2y`.
Попробуйте этот трюк применить к первому уравнению (при `y\neq 0`). Получите `x=y^2`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 22:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июл 2016, 22:02
Сообщений: 2
Glicin писал(а):
Тренировочный (не моя фотография)
Подробности:
Изображение



Интересно бы знать, откуда этот вариант. Ибо если его сравнить с вариантами прошлых лет - он заметно сложнее. На мой взгляд.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 22:10 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 22 май 2013, 15:42
Сообщений: 1852
Иваныч писал(а):
Да, лазейка есть. Второе уравнение имеет вид `f(x^2)=f(2y)`, где `f(t)=t^3 +t` - возрастающая функция. Отсюда `x^2 =2y`.
Попробуйте этот трюк применить к первому уравнению (при `y\neq 0`). Получите `x=y^2`.



`x^5+xy^4=y^10+y^6`

Разделим на `y^5!=0`:

`(x/y)^5+(x/y)=y^5+y`

`f(x/y)=f(y)`

Далее то же самое.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 22:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 июн 2016, 09:09
Сообщений: 27
bruno96 писал(а):
Иваныч писал(а):
Да, лазейка есть. Второе уравнение имеет вид `f(x^2)=f(2y)`, где `f(t)=t^3 +t` - возрастающая функция. Отсюда `x^2 =2y`.
Попробуйте этот трюк применить к первому уравнению (при `y\neq 0`). Получите `x=y^2`.



Подробности:
`x^5+xy^4=y^10+y^6`

Разделим на `y^5!=0`:

`(x/y)^5+(x/y)=y^5+y`

`f(x/y)=f(y)`

Далее то же самое.

Хорошая лазейка,а можно ее использовать и в других системах и неравенствах?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 22:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 22 май 2013, 15:42
Сообщений: 1852
фыфы писал(а):
Хорошая лазейка,а можно ее использовать и в других системах и неравенствах?


Можно, где выполняется условие монотонности функции.

viewtopic.php?f=4&t=9862 - полезно разобрать. Тут все на этот метод.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 22:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 июн 2016, 09:09
Сообщений: 27
bruno96 писал(а):
Иваныч писал(а):
Да, лазейка есть. Второе уравнение имеет вид `f(x^2)=f(2y)`, где `f(t)=t^3 +t` - возрастающая функция. Отсюда `x^2 =2y`.
Попробуйте этот трюк применить к первому уравнению (при `y\neq 0`). Получите `x=y^2`.



Подробности:
`x^5+xy^4=y^10+y^6`

Разделим на `y^5!=0`:

`(x/y)^5+(x/y)=y^5+y`

`f(x/y)=f(y)`


Продолжая тему системы через монотонность,как решать систему дальше?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 23:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июл 2016, 17:34
Сообщений: 5
Тренировочный №8

Подробности:
Пусть `f_1=x^2+4y+1`, `f_2=y^2+2x+4`, `O=(1;0)`

`4x^2+8x+4y^2+16y+20=4((x^2+4y+1)+(y^2+2x+4))=4(f_1+f_2)`
`root(3)(f_1)+root(3)(f_2)=root(3)(4(f_1+f_2))`
`f_1+3root(3)(f_1^2*f_2)+3root(3)(f_2^2*f_1)+f_2=4(f_1+f_2)`
`3root(3)(f_1^*f_2)(root(3)(f_1)+root(3)(f_2))=3(f_1+f_2)`
`f_1^*f_2(4(f_1+f_2))=(f_1+f_2)^3`
`(f_1+f_2)(4f_1f_2-(f_1+f_2)^2)=0`
`(f_1+f_2)(f_1-f_2)^2=0`

`[(f_1+f_2=0), (f_1=f_2):}`

`[((x+1)^2+(y+2)^2=0), ((x-1)^2=(y-2)^2):}`

`[((x+1)^2+(y+2)^2=0), ((x-y+1)(x+y-3)=0):}`

Из `(1)` точка `A_0=(-1;-2)``rightarrow``rho(A_0;O)=sqrt(2^2+4^2)=2sqrt(5)`
Из `(2)` две прямые:
`l1: quad y-x-1=0``rightarrow``rho(l1;O)=|0-1-1|/sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)<rho(A_0;O) => A_0 in emptyset `
`l2: quad y+x-3=0``rightarrow``rho(l2;O)=|0+1-3|/sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)
Точки `A_1` и `A_2` - точки касания окружности `R=sqrt(2)` c центром в `O(1;0)` прямых `l1` и `l2` `Rightarrow`
`A_1: {((x-1)^2+y^2=2), (y=x+1):} => A_1=(0;1)`
`A_2: {((x-1)^2+y^2=2), (y=3-x):} => A_2=(2;1)`


Последний раз редактировалось BigGameHunter 13 июл 2016, 00:55, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2016, 23:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 22 май 2013, 15:42
Сообщений: 1852
фыфы писал(а):

Продолжая тему системы через монотонность,как решать систему дальше?


Получили систему:

`{(x^2=2y), (x=y^2):}`

Из (2) в (1):

`y^4=2y iff y(y^3-2)=0 iff [(y=0), (y=root(3)(2)):} iff [(x=0), (x=root(3)(4)):} => (x,y) in {(0;0), (root(3)(4);root(3)(2))}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2016
 Сообщение Добавлено: 13 июл 2016, 01:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июн 2016, 18:58
Сообщений: 122
ДВИ 2011
OlG писал(а):
Подробности:
Вложение:
math.20110717.4.pdf

Мне понравился №6
Подробности:
Разделим и числитель и знаменатель дроби на `10^x>0`
`1/{5^{x-2}* 2^{-x}+1+2^{x+2}*5^{-x}} (*)
рассмотрим отдельно сумму:
`5^{x-2}*2^{-x}+2^{x+2}*5^{-x}>=2*sqrt(5^{-2}*2^2)=4/5` (неравенство Коши)
равенство достигается, когда слагаемые равны, т.е. при `x=log_{2,5}10`
(*) `<= 1/{1+4/5}=5/9`

Ответ: наибольшее значение выражения равно `5/9`, достигается при `х=log_{2,5}10`

Меня только смущает ответ не очень "красивый".


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 10 из 28 [ Сообщений: 271 ] На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 28  След.




Список форумов » Просмотр темы - МГУ ДВИ 2016


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: