Добрый день, уважаемые форумчане. Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами. Задача 1. (попроще)
Автомобиль массы m=1 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь s=20 м за время t=2 c. Какую мощность W должен развивать мотор этого автомобиля?
Эту задачу я решила двумя способами: с применением 2-го закона Ньютона и с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, но всё равно не вышла на ответ, данный в задачнике. Привожу своё решение с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, так как решение следующей задачи тоже с ней связано.
Подробности:
Согласно этой теореме `Wt=(m v^2)/2` `v=at=(2s)/t` `W=(2s^2m)/(t^3)`
В ответах в задачнике: `W=(4s^2m)/(t^3)=200` кВт
У меня ошибка или в задачнике опечатка?
Задача 2 (посложнее). Эту задачу я не поняла вообще. То есть абсолютно. Здесь я приведу сканы из книги с условием и решением
Я бы и эту задачу решила с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Алгебраическая сумма работ силы тяги и силы трения равна `(m u^2)/2` Отсюда находим скорость.
Но в книге решение намного более витиеватое. "Максимальная сила тяги автомобиля равна силе трения." - Разве автомобиль в этом случае будет разгоняться? Равнодействующая приложенных сил будет равна нулю.
"Если пренебречь потерями, то согласно теореме об изменении кинетической энергии ..." - Мне кажется, потерями пренебрегать в данном случае нельзя. На автомобиль действует постоянная сила трения, она совершает отрицательную работу.
В общем, это решение мне совсем не понятно. Буду благодарна за разъяснения. Спасибо.
...Помогите, пожалуйста, разобраться ... Задача 1. Автомобиль массы m=1 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь s=20 м за время t=2 c. Какую мощность W должен развивать мотор этого автомобиля?
Типа вот так. 1) `W=F*v`, (1) где `F` - равнодействующая сила, действующая на автомобиль; именно она его разгоняет 2) По II закону Ньютона для автомобиля в проекциях на горизонтальную ось: `F=m*a`. (2) 3) Согласно кинематике: `v_x=v_(0x)+a_xt`. У нас: `v_x=v`; `v_(0x)=0` - по условию задачи; `a_x=a`. Тогда: `v=a*t` `=>` `a=v/t`. (3) 4) (3) в (2): `F=(mv)/t`. (4) 5) (4) в (1): `W=(mv^2)/t` (5) 6) `s=(v^2-v_0^2)/(2a)=v^2/(2a)`, (6) где `v_0=0` - по условию задачи (3) в (6): `s=v^2/((2v)/t)=(vt)/2` `=>` `v=(2s)/t`; `v^2=(4s^2)/t^2` (7) 7) (7) в (5): `W=(4s^2m)/t^3` - в задачнике верно
PS. На некоторых сайтах в Интернете эта задача решена не правильно. PPS.
radix писал(а):
...Согласно этой теореме `Wt=(m v^2)/2`
У Вас та же ошибка, что в Интернете: Вы не учли работу против силы сопротивления движению (силы трения, сопротивления воздуха и т.д.). `Wt=(mv^2)/2+|A_(conp)|*s`
_________________ Казнить нельзя ЗПТ помиловать!
Последний раз редактировалось Viktor Perestukin 18 дек 2016, 23:35, всего редактировалось 4 раз(а).
Viktor Perestukin
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Здесь затрудняюсь с объяснениями. Вроде, в решении, которое Вы привели, всё написано. Вот полный рисунок всех сил, действующих на автомобиль при движении. Может, поможет понять. Сила тяги - это сила трения, действующая на ведущие колёса автомобиля в направлении его движения (на рис. - сила тяги на колёсах).
Вложение:
схема сил действующих на автомобиль.gif [ 274.73 KIB | Просмотров: 5340 ]
PS. Пару лет назад на олимпиаде "Наследники Левши" была такая задача: изобразить все силы, действующие на движущийся автомобиль.
_________________ Казнить нельзя ЗПТ помиловать!
Viktor Perestukin
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Задача 2...это решение мне совсем не понятно. Буду благодарна за разъяснения.
Попробую объяснить, на сколько сумею. Если что не так, форумчане поправят-дополнят.
Что надо уяснить (см. рисунок "Схема сил, действующих на автомобиль"). 1. Сила сопротивления качению `!=mumg` ! 2. Сила трения, действующая на шины колёс автомобиля, `=mumg` только тогда, когда автомобиль тормозит с заблокированными колёсами (колёса не вращаются). 3. Сила тяги автомобиля, когда его колёса вращаются без проскальзывания, и автомобиль разгоняется, равна силе трения `mumg`. Об этом я уже писал в предыдущем посте, но попробую ещё раз. Именно эта сила трения `mumg` и разгоняет автомобиль, ведь колёса толкают от себя землю. Третий закон Ньютона: если колесо не проскальзывает, то, как и в случае заблокированных колёс, шина действует на поверхность дороги с силой трения `mumg`, а дорога с такой же силой толкает от себя вперёд автомобиль. В этом случае, пренебрегая потерями (как и сказано в приведённом Вами решении) - т.е. сопротивлением воздушной среды, сопротивлением качению и пр., - II закон Ньютона для разгоняющегося автомобиля будет выглядеть так: `vecF+mvecg+vecN=mveca`, где `vecF` - сила тяги, которая равна `F=mumg` - силе трения скольжения заблокированных колёс. Тогда в проекциях на горизонтальную ось: `F=ma`, `mumg=ma`, `a=mug`.
Теперь, после того, как уяснили сказанное выше, к решению задачи. `N=F*v_1`, где `F` - сила тяги, причём, как мы выяснили выше, эта сила тяги `F=mumg`. `v_1=N/F=N/(mumg)` - это `max` скорость, которую можно "выжать" из двигателя мощностью `N` за время `t_1` и при этом двигаться с постоянным ускорением. После этого ускорение уже не будет постоянным, т.к. мы достигли максимальной возможности двигателя! Найдём время `t_1`, а затем будем анализировать дальше. Из кинематики: `v_1=a*t_1`. `t_1=v_1/a`
`t_1=(N/(mumg))/(mug)=N/(mumg*mug)=N/(mmu^2g^2)`
Работа, которую совершит двигатель, разгоняя автомобиль от `v_1` до `u`: `A_2=N*t_2`. По закону сохранения и изменения кинетической энергии, пренебрегая потерями: `A_2=(m u^2)/2-(mv_1^2)/2`. Тогда: `N*t_2=m/2(u^2-v_1^2)`. `t_2=m/(2N)(u^2-(N/(mumg))^2)`
Искомое время: `t=t_1+t_2`. После преобразований: `t=(m u^2)/(2N)+N/(2mmu^2g^2)`.
_________________ Казнить нельзя ЗПТ помиловать!
radix
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
...Помогите, пожалуйста, разобраться ... Задача 1. Автомобиль массы m=1 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь s=20 м за время t=2 c. Какую мощность W должен развивать мотор этого автомобиля?
Типа вот так. 1) `W=F*v`, (1) где `F` - равнодействующая сила, действующая на автомобиль; именно она его разгоняет 2) По II закону Ньютона для автомобиля в проекциях на горизонтальную ось: `F=m*a`. (2) 3) Согласно кинематике: `v_x=v_(0x)+a_xt`. У нас: `v_x=v`; `v_(0x)=0` - по условию задачи; `a_x=a`. Тогда: `v=a*t` `=>` `a=v/t`. (3) 4) (3) в (2): `F=(mv)/t`. (4) 5) (4) в (1): `W=(mv^2)/t` (5) 6) `s=(v^2-v_0^2)/(2a)=v^2/(2a)`, (6) где `v_0=0` - по условию задачи (3) в (6): `s=v^2/((2v)/t)=(vt)/2` `=>` `v=(2s)/t`; `v^2=(4s^2)/t^2` (7) 7) (7) в (5): `W=(4s^2m)/t^3` - в задачнике верно
PS. На некоторых сайтах в Интернете эта задача решена не правильно. PPS.
radix писал(а):
...Согласно этой теореме `Wt=(m v^2)/2`
У Вас та же ошибка, что в Интернете: Вы не учли работу против силы сопротивления движению (силы трения, сопротивления воздуха и т.д.). `Wt=(mv^2)/2+|A_(conp)|*s`
Viktor Perestukin, спасибо за ответ! С первой задачей у меня было ещё и такое решение, но оно приводило к тому же ответу, что и приведённое мною решение. По поводу сопротивления движению я Вас не совсем поняла. Обычно в задачах либо фраза, что сопротивлением воздуха и т.п. пренебречь, либо какие-то данные, как то коэффициент сопротивления и т.д., которые показывают нам, как именно это сопротивление учитывать. Я приведу своё второе решение, но, кажется, я начинаю понимать, в чём моя ошибка. Второе решение:
Подробности:
Будем считать силу тяги постоянной, силу сопротивления тоже постоянной. Пусть их равнодействующая равна `F`. Тогда по второму закону Ньютона `F=m a` Из уравнений равноускоренного движения `a= (2s)/(t^2)` Полезная работа, которую совершает двигатель по перемещению автомобиля и по преодолению силы сопротивления равна `A=F s` Мощность двигателя равна `W=A/t=(F s)/t= (m a s)/t= (2 m s^2)/(t^3)`
Увы, результат тот же, что и в первом моём решении. Но...
В Вашем решении самая первая строка заставила меня задуматься вот над чем: `W=F v` Равнодействующую считаем постоянной (или нет? ну, допустим, для простоты, что постоянная), а вот скорость-то у нас точно изменяется. А это значит что и мощность у нас изменяется со временем. Мощность, которую развивал двигатель в самом начале движения (пока скорость была небольшая) была меньше, чем мощность, когда автомобиль разогнался. Будем считать, что переключения передач не происходит. Так вот я в своих обоих решениях нашла среднюю мощность за все время пути, а нужно было найти максимальную, а именно мощность, которую развивает двигатель в тот момент, когда скорость автомобиля станет равной `v=(2s)/t`. А она действительно в два раза больше средней мощности.
Надеюсь, мне удалось понять решение. Ещё раз благодарю за ответ. Завтра попробую разобраться со второй задачей.
radix
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Попробую объяснить, на сколько сумею. Если что не так, форумчане поправят-дополнят.
Что надо уяснить (см. рисунок "Схема сил, действующих на автомобиль"). 1. Сила сопротивления качению `!=mumg` ! 2. Сила трения, действующая на шины колёс автомобиля, `=mumg` только тогда, когда автомобиль тормозит с заблокированными колёсами (колёса не вращаются). 3. Сила тяги автомобиля, когда его колёса вращаются без проскальзывания, и автомобиль разгоняется, равна силе трения `mumg`. Об этом я уже писал в предыдущем посте, но попробую ещё раз. Именно эта сила трения `mumg` и разгоняет автомобиль, ведь колёса толкают от себя землю. Третий закон Ньютона: если колесо не проскальзывает, то, как и в случае заблокированных колёс, шина действует на поверхность дороги с силой трения `mumg`, а дорога с такой же силой толкает от себя вперёд автомобиль. В этом случае, пренебрегая потерями (как и сказано в приведённом Вами решении) - т.е. сопротивлением воздушной среды, сопротивлением качению и пр., - II закон Ньютона для разгоняющегося автомобиля будет выглядеть так: `vecF+mvecg+vecN=mveca`, где `vecF` - сила тяги, которая равна `F=mumg` - силе трения скольжения заблокированных колёс. Тогда в проекциях на горизонтальную ось: `F=ma`, `mumg=ma`, `a=mug`.
Теперь, после того, как уяснили сказанное выше, к решению задачи. `N=F*v_1`, где `F` - сила тяги, причём, как мы выяснили выше, эта сила тяги `F=mumg`. `v_1=N/F=N/(mumg)` - это `max` скорость, которую можно "выжать" из двигателя мощностью `N` за время `t_1` и при этом двигаться с постоянным ускорением. После этого ускорение уже не будет постоянным, т.к. мы достигли максимальной возможности двигателя! Найдём время `t_1`, а затем будем анализировать дальше. Из кинематики: `v_1=a*t_1`. `t_1=v_1/a`
`t_1=(N/(mumg))/(mug)=N/(mumg*mug)=N/(mmu^2g^2)`
Работа, которую совершит двигатель, разгоняя автомобиль от `v_1` до `u`: `A_2=N*t_2`. По закону сохранения и изменения кинетической энергии, пренебрегая потерями: `A_2=(m u^2)/2-(mv_1^2)/2`. Тогда: `N*t_2=m/2(u^2-v_1^2)`. `t_2=m/(2N)(u^2-(N/(mumg))^2)`
Искомое время: `t=t_1+t_2`. После преобразований: `t=(m u^2)/(2N)+N/(2mmu^2g^2)`.
Viktor Perestukin, огромное спасибо за обстоятельное объяснение! Я поняла, что первой грубой моей ошибкой было то, что я перепутала понятия коэффициента трения и коэффициента сопротивления движению. С силой тяги теперь мне всё понятно. Насколько я поняла, все время движения в этой задаче разбивается на два промежутка: время до того, как автомобиль набрал скорость `v_1`, и после этого момента. Разница в расчетах этих двух процессов заключается в том, что на первом этапе мощность, которую вырабатывает двигатель, нарастает от нуля до максимальной мощности (и здесь расчет проводим, как в первой задаче). На втором интервале же мощность уже максимальна и остаётся неизменной, и поэтому равной средней мощности на этом (втором) интервале. С этим фактом связано и то, что закон, по которому изменяется скорость автомобиля, также различен для этих двух интервалов.
Viktor Perestukin, я правильно Вас поняла? Если мои выводы ошибочны, скажите, пожалуйста, мне об этом, я тогда ещё раз перечитаю Ваше объяснение и подумаю над ним. У меня, к сожалению, с задачами этого типа очень большой пробел. Спасибо.
Viktor Perestukin
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Насколько я поняла, все время движения в этой задаче разбивается на два промежутка: время до того, как автомобиль набрал скорость `v_1`, и после этого момента. Разница в расчетах этих двух процессов заключается в том, что на первом этапе мощность, которую вырабатывает двигатель, нарастает от нуля до максимальной мощности (и здесь расчет проводим, как в первой задаче). На втором интервале же мощность уже максимальна и остаётся неизменной, и поэтому равной средней мощности на этом (втором) интервале. С этим фактом связано и то, что закон, по которому изменяется скорость автомобиля, также различен для этих двух интервалов.
Всё правильно: два интервала и две разные зависимости изменения скорости от времени, что рассказано в авторском решении задачи, которое Вы привели выше. Правильно ли говорить о мощности на втором промежутке, как о средней мощности? Честно скажу, не задумывался над этим вопросом. Прежде всего, пытался изложить Вам авторское решение задачи немного другими словами.
Главное - очень хорошо, что Вы поняли, что такое сила тяги автомобиля на самом деле, и что по достижении скорости `v_1` двигатель достигает максимальной возможности, которую от него можно получить.
_________________ Казнить нельзя ЗПТ помиловать!
radix
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Для меня только один момент остался непонятным: почему на втором промежутке времени формула `N=F_{тяги} v` не справедлива? Если мы уже "выжали" из мотора максимальную мощность, то при движении с постоянной силой тяги и увеличивающейся скоростью, мощность, стоящая в этой формуле слева, будет тоже увеличиваться, но она не может быть больше максимальной мощности мотора. Для меня, честно говоря, более понятным был бы факт о том, что при данной максимальной мощности автомобиль может разогнаться только до определённой скорости, а именно до `v_1=N/(mu m g)`
Почему возможен дальнейший набор скорости, я понять пока не могу.
Viktor Perestukin
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Почему возможен дальнейший набор скорости, я понять пока не могу.
Хорошие вопросы задаете! Действует разгоняющая сила - сила тяги, которая есть сила трения `mu m g`. Это уже уяснили. По II закону Ньютона: если действует сила, то изменяется скорость. До тех пор, пока мы не достигли "потребления" максимальной мощности от двигателя, `v`~`t`. Дальше скорость будет увеличиваться, как `v`~`sqrt(t)`. До тех пор, пока сила тяги будет превышать суммарную силу сопротивления движению, тело будет разгоняться.
_________________ Казнить нельзя ЗПТ помиловать!
Последний раз редактировалось Viktor Perestukin 23 дек 2016, 13:06, всего редактировалось 2 раз(а).
radix
Заголовок сообщения: Re: Две задачи на автомобили и их мощности
Проблема в том, что задачников, где бы приводилось полное подробное решение не так уж много. И среди них приходится отыскивать задачи нужного типа. Вот что мне удалось найти. Всеросс 2011/12 11 класс, регион. Полное решение приводить не буду, его легко найти на сайте Всеросса.
Задача. Автомобиль с полным приводом и массой m проходит поворот радиуса R с постоянной по модулю скорость. Максимальная мощность двигателя автомобиля не зависит от скорости и равна `P_{max}`. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости автомобиля, коэффициент `alpha`. Коэффициент трения между колёсами и дорогой `mu`. Определите максимальное значение модуля скорости, с которой автомобиль может пройти поворот ...
В решении, предложенном организаторами, есть такие моменты:
Мгновенная мощность, развиваемая двигателем равна `P=F_{тяги} v= alpha v^2`
Если условие отсутствия проскальзывания колёс выполнено, то скорость ограничивается только мощностью двигателя: `P<= P_{max}` то есть `v<=sqrt{P_{max}/ alpha}=v_{max} ...
Похоже, что ограничение скорости, накладываемое максимальной мощностью всё-таки есть : `v_{max}=P_{max}/F_{тяги}`
Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 11
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения