Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство $$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$ имеет хотя бы одно решение $(t;x).$
Подробности:
Получил $\pm\sqrt{3}$, но в ответе только отрицательное значение..
Последний раз редактировалось Kirill Kolokolcev 16 янв 2017, 04:17, всего редактировалось 1 раз.
vyv2
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство $$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$ имеет хотя бы одно решение $(t;x).$
Подробности:
Получил $\pm\sqrt{3}$, но в ответе только отрицательное значение..
Ответ должен быть отрицательным. При `+sqrt3` минимальное значение левой части положительно.
_________________ Сопротивление бесполезно.
Kirill Kolokolcev
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
vyv2 писал(а):
Ответ должен быть отрицательным. При `+sqrt3` минимальное значение левой части положительно.
Подскажите, пожалуйста, где я не прав...
Я обозначил $(3+2\sqrt{2})^x=u>0,\, 3^t=v>0,$ причем единственным значениям $u$ и $v$ соответствуют единственные значения $x$ и $t.$ После введенных обозначений неравенство принимает вид $1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+v^2+b^2/4+b\cdot v-\sqrt{12}\le0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}\le0.$ Рассмотрим функцию $f(u;v)=1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}.$ Ее наименьшее значение $f_\min=2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}.$ Чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы $f_\min\le0,$ то есть $2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}\le0,$ откуда $b=\pm\sqrt{3}.$
vyv2
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
Kirill Kolokolcev писал(а):
vyv2 писал(а):
Ответ должен быть отрицательным. При `+sqrt3` минимальное значение левой части положительно.
Подскажите, пожалуйста, где я не прав...
Я обозначил $(3+2\sqrt{2})^x=u>0,\, 3^t=v>0,$ причем единственным значениям $u$ и $v$ соответствуют единственные значения $x$ и $t.$ После введенных обозначений неравенство принимает вид $1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+v^2+b^2/4+b\cdot v-\sqrt{12}\le0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}\le0.$ Рассмотрим функцию $f(u;v)=1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}.$ Ее наименьшее значение $f_\min=2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}.$ Чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы $f_\min\le0,$ то есть $2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}\le0,$ откуда $b=\pm\sqrt{3}.$
Ошибка в том, что должно быть `v > 0`, а у вас при `b > 0` минимум достигается при `v=-b/2 < 0`.
_________________ Сопротивление бесполезно.
Kirill Kolokolcev
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство $$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$ имеет хотя бы одно решение $(t;x).$
Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство $$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$ имеет хотя бы одно решение $(t;x).$
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения