Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство $4^x+4^{-x}+8|2^x+2^{-x}-a|+11a<26+2a(2^x+2^{-x})$ имеет хотя бы одно решение.
Подробности:
Пусть $2^x+2^{-x}=t\ge2.$ Тогда неравенство примет вид $t^2-2at+8|t-a|+11a-24<0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 8|t-a|<-t^2+2at-11a+24,$ что равносильно системе `{(8t-8a<-t^2+2at-11a+24),(8t-8a>t^2-2at+11a-24):} \quad \Leftrightarrow \quad {(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0):}.` Тогда задачу можно сформулировать так: Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система `{(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0),(t\ge2):}` имеет хотя бы одно решение.
Помогите с решением последней системы, и нет ли способа легче решить данную задачу?
Последний раз редактировалось Kirill Kolokolcev 16 янв 2017, 04:16, всего редактировалось 1 раз.
lenaskor
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36 Сообщений: 1119
Симметрия относительно точки `t=a`.
Подробности:
`t^2-2at+11a-28<-8|t-a| ` Парабола - минимум в точке `a`, модульная - максимум. Если есть решение `t<=a`, то есть и решение `t>=a`, и наоборот. То есть больший корень квадратного трехчлена `f(t)=t^2-2at+11a-28+8(t-a)` не меньше 2.
Условие: `f(2)<=0`
Kirill Kolokolcev
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
Ischo_Tatiana писал(а):
Симметрия относительно точки `t=a`.
Подробности:
`t^2-2at+11a-28<-8|t-a| ` Парабола - минимум в точке `a`, модульная - максимум. Если есть решение `t<=a`, то есть и решение `t>=a`, и наоборот. То есть больший корень квадратного трехчлена `f(t)=t^2-2at+11a-28+8(t-a)` не меньше 2.
Условие: `f(2)<=0`
Спасибо большое! Я и не знал, что такая симметрия бывает..
OlG
Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство $4^x+4^{-x}+8|2^x+2^{-x}-a|+11a<26+2a(2^x+2^{-x})$ имеет хотя бы одно решение. Пусть $2^x+2^{-x}=t\ge2.$ Тогда неравенство примет вид $t^2-2at+8|t-a|+11a-24<0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 8|t-a|<-t^2+2at-11a+24,$ что равносильно системе `{(8t-8a<-t^2+2at-11a+24),(8t-8a>t^2-2at+11a-24):} \quad \Leftrightarrow \quad {(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0):}.` Тогда задачу можно сформулировать так: Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система `{(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0),(t\ge2):}` имеет хотя бы одно решение. Помогите с решением последней системы, и нет ли способа легче решить данную задачу?
Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство $4^x+4^{-x}+8|2^x+2^{-x}-a|+11a<26+2a(2^x+2^{-x})$ имеет хотя бы одно решение. Пусть $2^x+2^{-x}=t\ge2.$ Тогда неравенство примет вид $t^2-2at+8|t-a|+11a-24<0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 8|t-a|<-t^2+2at-11a+24,$ что равносильно системе `{(8t-8a<-t^2+2at-11a+24),(8t-8a>t^2-2at+11a-24):} \quad \Leftrightarrow \quad {(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0):}.` Тогда задачу можно сформулировать так: Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система `{(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0),(t\ge2):}` имеет хотя бы одно решение. Помогите с решением последней системы, и нет ли способа легче решить данную задачу?
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения