Сначала собственное решение (очень долго думала и совсем не хотела решать уравнения...) И затем решение на основе изумительной идеи Grigorich (даже не думала в ту сторону)
`a+3k=b+5m=c+7n`. Решим в целых числах уравнение `a+3k=b+5m` или `3k-5m=b-a`. Частное решение: `k_0=2b+3a, \ \ m_0=b+2a`. Общее решение: `k=2b+3a+5p, \ \ m=b+2a+3p, \ \ p in ZZ`. Тогда общие для первых двух прогрессий элементы имеют вид: `a+3k=10a+6b+15p`. Решим уравнение `10a+6b+15p=c+7n` или `7n-15p=10a+6b-c`. Частное решение: `n_0=10a+3b+2c, \ \ p_0=4a+b+c`. Общее решение: `n=10a+3b+2c+15q, \ \ p=4a+b+c+7q,\ \q in ZZ`. Элементы, общие для всех трех прогрессий: `d(q)=c+7n=70a+21b+15c+105q` (1). Элементы (1) будут принадлежать всем прогрессиям, начиная с некоторых `q`, так как `a,b,c` в формуле (1) отрицательны, а `q` - целые. а) Да (следует из (1)). б) Нет. Например, если `a=-3, b=-1,c=-6,` то `d(4)=99, \ \ d(5)=204`. в) Да, так как числа (1) следуют друг за другом с "шагом" 105 и среди любых 105 подряд идущих чисел найдется число вида (1).
copperfox
Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №189
`a+3k=b+5m=c+7n`. Решим в целых числах уравнение `a+3k=b+5m` или `3k-5m=b-a`. Частное решение: `k_0=2b+3a, \ \ m_0=b+2a`. Общее решение: `k=2b+3a+5p, \ \ m=b+2a+3p, \ \ p in ZZ`. Тогда общие для первых двух прогрессий элементы имеют вид: `a+3k=10a+6b+15p`. Решим уравнение `10a+6b+15p=c+7n` или `7n-15p=10a+6b-c`. Частное решение: `n_0=10a+3b+2c, \ \ p_0=4a+b+c`. Общее решение: `n=10a+3b+2c+15q, \ \ p=4a+b+c+7q,\ \q in ZZ`. Элементы, общие для всех трех прогрессий: `d(q)=c+7n=70a+21b+15c+105q` (1). Элементы (1) будут принадлежать всем прогрессиям, начиная с некоторых `q`, так как `a,b,c` в формуле (1) отрицательны, а `q` - целые. а) Да (следует из (1)). б) Нет. Например, если `a=-3, b=-1,c=-6,` то `d(4)=99, \ \ d(5)=204`. в) Да, так как числа (1) следуют друг за другом с "шагом" 105 и среди любых 105 подряд идущих чисел найдется число вида (1).
Спасибо. Понравилось решение - понятны все действия. Похоже на второй вариант решения Grygorich с той разницей, что там (такое ощущение) автор пытался посильнее запутать следы (ход решения)
Raisa
Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №189
[quote="copperfox"][quote="Владимир Анатольевич"]Решение задачи 19 методом "в лоб".
Спасибо. Понравилось решение - понятны все действия. Полностью поддерживаю. Рада Вас видеть на форуме, Владимир Анатольевич! Всем большое спасибо за решение этой задачи.
Владимир Анатольевич
Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №189
Никак не мог сюда добраться. Ученики слабые и большая нагрузка (в прошлом году состав был другой: один набрал 100 баллов, еще четверо - больше 80). Сейчас появилась продвинутая девочка, требующая неформального отношения, и я решил подтянуть форму.
Alexander N
Заголовок сообщения: Re: Тренировочный вариант №189
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения