За эту задачу отдельное спасибо.
Задача безусловно имеет классическое решение, но я применю "открытый" мною (более чем уверен что до меня его открыли еще древнегреческие геометры) метод "двигательной" геометрии.
1. Пусть на плоскости расположено четыре коллинеарных точки `A`, `B`, `C` и `D` (считаем что задано их расположение относительно друг друга)
Вложение:
110518 1.png [ 6.43 KIB | Просмотров: 3463 ]
2. Пары параллельных прямых можно проводить через произвольно выбранные точки, но мы рассмотрим наиболее простой (на мой взгляд) вариант - первая пара через `A` и `B`, а вторая соответственно через `C` и `D`.
Так как строить мы будем квадрат, пусть `EFGH` то определить ГМТ для его вершины можно следующим образом:
-первую вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `B` и `C`, соответственно строим окружность на диаметре `BC` окружность `E`.
-вторую вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `B` и `D`, соответственно строим окружность на диаметре `BD` окружность `F`.
-третью вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `A` и `D`, соответственно строим окружность на диаметре `AD` окружность `G`.
-четвертую вершину мы получим как пересечение прямых проведенных через `A` и `C`, соответственно строим окружность на диаметре `AC` окружность `G`.
Получили такое расположение окружностей ГМТ:
Вложение:
110518 2.png [ 12.36 KIB | Просмотров: 3463 ]
3. Осталось непосредственно вписать квадрат.
Для этого воспользуемся главной и единственной аксиомой (так как аналитического доказательства я не имею
) "Двигательной геометрии", а именно:
Если произвольно выбранную точку геометрического тела двигать по заданной траектории, при этом закрепив любую другую точку тела неподвижно, все другие точки тела будут двигаться по точно такой же траектории как и двигаемая, кроме закрепленной естественно.
-из точки `A` строим секущую пересекающую окружности `G` и `H` в точках `G'` и `H'`, в принципе этого уже достаточно для построения ГМТ точек `D_E` и `D_F`, которые будут окружностями. В случае вырождения секущей в точку `A`, точки `E'` и `F'` совпадут с `A`. В случае когда секущая совпадет с `AD` то `E'` совпадет с `C` а `F'` с `D`. Для наглядности я построил еще пару квадратов.
4. Точки пересечения `D_E` с `E` и `D_F` с `F` дадут нам сторону искомого квадрата. Дальше тривиально:
Вложение:
110518 5.png [ 28.35 KIB | Просмотров: 3461 ]
Если зачередовать пары параллельных в другой последовательности то получим другой квадрат. Для каждой пары 1. Всего возможно построить три различных квадрата для пар: 1-2, 3-4; 1-3, 2-4, 1-4, 2-3.
Для случая ромба - если помимо циркуля и линейки есть возможно отложить угол `alpha` то построить, на первый взгляд, тоже возможно. ГМТ точек будет представлять собой часть дуги, на которые опираются угол `alpha`.