Вечером перечерчу, с вводными все габариты ромба будут теми же самыми, по идее.
Пока нету доступа к геогебре (на работе) может мне начать с самого начала, так будет легче понять логику моего построения?
На плоскости задана прямая `b` и отрезок `AB` такой что точка `B` принадлежит `b`. Точка `B` свободно двигается по прямой `b` задача построить геометрическое место точек, которое может занимать точка `C` расположенная на середине отрезка `AB` (в целях экономии сообщений рисунки буду вставлять ссылками на файлообменник).
https://ibb.co/dQsAiyПри таких вводных понятно, что ГМТ точки `C` представляет собой прямую параллельную `b` так как `C'C''` является средней линией треугольника `AB'B''`.
На основании проведенного опыта можно сделать очень важный вывод:
Теорема №1На плоскости задана прямая `a` и отрезок `AC` такой что точка `A` принадлежит `a`, на отрезке выбрана произвольным образом точка `B` (между `A` и `C`. точка `B` неподвижна, а точка `A` свободно ходит по прямой `a` - траектория всех других точек принадлежащих отрезку `AC` при таком движении тоже будет прямой. Дальше предлагаю практическое применение. В его роли предложу задачу которую придумал самостоятельно. Мысль о ней пришла ко мне после знакомства с ЕГЭшными задачами "на построение", которые требуют знания основных свойств ортоцентра и центра вписанной в треугольник окружности:
На плоскости задан угол `ABC` и лежащая между сторонами угла точка `D` построить некоторый отрезок `EF` расположенный таким образом что `E` принадлежит `AB`, `F` принадлежит `BC`, а прямая `BD` делит `EF`пополам, учитывая что вершина угла - точка `B` недоступна. Учитывая теорему №1 построение элементарно:
https://ibb.co/dWoptyДля решения этой задачи представим точку `D` как точку пересечения медиан треугольника `BEF` тогда прямая `BD` пересечет `EF` точно по середине.
Построение:
1. Строим окружность с центром в точке `D` пересекающую отрезок `BC` в двух точках (синее построение). Из точек пересечения окружностью `BC` строим лучи проходящие через `D`. Из точек пересечения луча и окружности строим окружности тем же радиусом. Лучи пересекут их в некоторых точках `E'` и `E''`, прямая `E'E''` будет являться траекторией движения точки `E`. Строим ее, при пересечении отрезка `BA` находим нашу точку `E`.
Аналогично строим точку `F` (фиолетовое построение). Получили отрезок `EF` - задача решена.
Идем дальше, попробуем двигать закрепленную в точке `A` одной из вершин геометрическую фигуру, при условии что вторая вершина двигается по прямой. Наиболее просто это проделать с правильным треугольником, либо квадратом. Выполняем:
1. Равносторонний треугольник.https://ibb.co/fjvxfdПостроение опять же элементарно:
1. Строим произвольный отрезок `AB_1` затем на нем правильный треугольник `AB_1C_1`, повторяем эту процедуру 2 раза, получаем 3 точки `C_1`,` C_2` и `C_3`, соединив их получаем прямую `c`.
Что интересно, равносторонний треугольник можно двигать по прямой двумя разными вершинами, прямые `b` и `c` можно построить следующим образом - строим правильный треугольник `ABC` (фиолетовый) таким образом что точки `B` и `C` принадлежат `b`, затем зеркально отражаем относительно прямой `b` точку `A` (либо на стороне `BC` строим равносторонний треугольник в другую от `A` сторону) получили точку `A'`, траекторией движения точки `C` будет прямая`A'B`, а точки `B` соответственно прямая `A'C`.
Подобный метод позволяет отлично анализировать и получать схему расположения ГМТ.
2. Квадрат.1. Построение тривиально, сразу к рисунку:
https://ibb.co/j3XFYyпроведя построения мы снова видим линии ГМТ для движения свободных вершин.
Но квадрат можно двигать по прямой тремя различными вершинами, проведя анализ мы видим красивое расположение линий ГМТ относительно прямой и точки:
https://ibb.co/dOiHfdвидим что для построения схемы ГМТ свободных вершин достаточно нарисовать квадраты лежащие сторонами и диагональю на прямой. Всего при заданной точке `A` таких квадратов может быть 3. 2 лежат стороным (4 прямых ГМТ) и 1 диагональю (2 прямых ГМТ)
Практическое применениеИспользуя данный подход построения ГМТ можно вписать любой равносторонний треугольник либо квадрат к чему угодно (как минимум одной вершиной, так же проанализировать возможность либо невозможность вписания сразу 2 свободных вершин), при заданной вершине и известном наличии другой вершины на какой то прямой.
На основании полученной информации мы подошли к второй теореме:
Теорема №2Если на плоскости задана любая геометрическая фигура состоящая из прямых, одна точка которой неподвижна, а другая двигается по прямой, то все остальные точки этой фигуры будут двигаться по прямым в том случае, если при любом сдвиге фигура оставается подобной оригиналу.Очень спорно и к сути построения отношения не имеет, можно не читать.
После вписания квадрата и треугольника двигающихся одной вершиной по прямой и с закрепленной другой вершиной, я начал двигать вершину квадрата не по прямой, а по окружности. По возможности вычерчу все результаты. Схема ГМТ снова строилась на квадратах и была весьма красивой. И да, все другие точки квадрата, при сохранении подобия естественно, так же двигались по окружностям. На основании этих данных я и решал задачу....