Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 18 из 21 [ Сообщений: 205 ] На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 01 авг 2018, 21:37 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 июл 2018, 14:20
Сообщений: 12
Большое спасибо. Во втором решении разобрался. С третьим решением с `t` сидел
долго, получилось не несложно, а сложно. Не нашел простое решение.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 02 авг 2018, 03:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5725
Откуда: Москва
Подробности:
Vladimir Serov писал(а):
Большое спасибо. Во втором решении разобрался. С третьим решением с `t` сидел
долго, получилось не несложно, а сложно. Не нашел простое решение.

53. Возможно именно замена помешала Вам решить это простое неравенство. Пример
имеет странную особенность - как его не решай (с заменой или без замены), но каждое
следующее решение проще предыдущего:

`qquad (sqrt(1+x)-1)(sqrt(1-x)+1) le x/sqrt(2) quad iff quad (sqrt(1+x)+1)(sqrt(1+x)-1)(sqrt(1-x)+1) le x/sqrt(2)(sqrt(1+x)+1) quad iff quad`

`quad iff quad ((1+x)-1)(sqrt(2)sqrt(1-x)+sqrt(2)) le x (sqrt(1+x)+1) quad iff quad x ((sqrt(1+x))^2-(sqrt(2)sqrt(1-x)+sqrt(2)-1)^2) ge 0 quad iff quad`

`quad iff quad {(x(-3(sqrt(1-x))^2 - 2(2-sqrt(2))sqrt(1-x)+2sqrt(2)-1) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad {(x(sqrt(1-x)+1)((2sqrt2-1)/3-sqrt(1-x)) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad

` quad iff quad {(x((9-4sqrt2)/9-(1-x)) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad {(x(x-(4sqrt2)/9) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad [(-1 le x le 0),((4sqrt2)/9 le x le 1):} quad.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 02 авг 2018, 22:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 июл 2018, 14:20
Сообщений: 12
Еще раз спасибо за помощь.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 14:36 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5725
Откуда: Москва
Подробности:
nina216 писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи:
В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.

Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.

Подробности:
nina216 писал(а):
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.

54. МГУ 1980 ВМК №6.

1) `{(AB+AC+AS=P),(AB+BC+BS=P),(AC+BC+CS=P),(AS+BS+CS=P):}, quad {(AB+AC=P-AS),(AB+BC=P-BS),(AC+BC=P-CS),(AS+BS+CS=P):} quad => quad 2P_(ABC)=3P-P, quad P_(ABC)=P, quad AS=BC, quad BS=AC, quad CS=AB, `

`quad DeltaABC=DeltaCSA=DeltaBAS=DeltaSCB, quad ABCS quad - quad` равногранный тетраэдр`, quad H=4r=4sqrt(3/(13)).`

2) Проведем через точки `A, quad B, quad C qquad B_(1)C_(1) parallel BC, quad A_(1)C_(1) parallel AC, quad A_(1)B_(1) parallel AB quad` соответственно. Получаем, что

`quad AS=AB_(1)=AC_(1), quad BS=A_(1)B=BC_(1), quad CS=A_(1)C=B_(1)C, quad` т.е. `DeltaA_(1)B_(1)S, quad DeltaA_(1)C_(1)S, quad DeltaB_(1)C_(1)S quad - quad` прямоугольные

треугольники, а тетраэдр `A_(1)B_(1)C_(1)S quad - quad` прямоугольный тетраэд.

3)

а) Проведем `SO perp A_(1)B_(1)C_(1), quad SO=H, quad SD perp A_(1)C_(1), quad SD=h.`

б) Обозначим `a=A_(1)S, quad b=B_(1)S, quad c=C_(1)S, quad` тогда `(b^2+a^2)+(b^2+c^2)=(A_(1)B_(1))^2+(B_(1)C_(1))^2=4(CS^2+AS^2)=48.`

в) Пусть `alpha=/_SA_(1)C_(1) quad - quad` меньший острый угол `DeltaA_(1)C_(1)S`, тогда `cos/_C_(1)BS=cos 2 alpha =(a^2-c^2)/(a^2+c^2)=1/3, quad a^2=2c^2.`

4) `{(2b^2+a^2+c^2=48),(a^2=2c^2),(h^2=(a^2c^2)/(a^2+c^2)),(H^2=(b^2h^2)/(b^2+h^2)=(48)/(13)):} quad => quad [(V_(SABC)=(abc)/24=(2sqrt6)/3),(V_(SABC)=(abc)/24=(48sqrt(39))/(169) gt 5/3):}`

Ответ: `V_(SABC)=(2sqrt6)/3.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 10 авг 2018, 21:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5725
Откуда: Москва
Подробности:
Webmex писал(а):
Здравствуйте, подскажите пожалуйста, что с модулем делать? Хотел на (πх)/3 ввести замену, но что тогда делать с модулем в котором ещё один икс?
Изображение

55. МГУ Экономфак 1970.

а) `{(|6x-5|-4sin((pix)/3)=0),((pix)/3 ne pi/2+pin; quad n in ZZ):} quad iff quad x=1/2 quad.`

б) `|6x-5| le 4 quad iff quad 1/6 le x le 3/2.`

в) `1/6 le x lt 5/6, quad f(x)=|6x-5|-4sin((pix)/3)=5-6x-4sin((pix)/3) quad darr`. Уравнение имеет

не больше одного корня, который легко угадывается `x=1/2.`

г) `5/6 le x le 3/2, quad f(x)=|6x-5|-4sin((pix)/3)=6x-5-4sin((pix)/3) quad uarr`. Уравнение имеет

не больше одного корня, который тоже легко угадывается `x=3/2.` Этот корень

не подходит из-за условия `(pix)/3 ne pi/2+pin; quad n in ZZ. `

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 11 авг 2018, 16:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5725
Откуда: Москва
Webmex писал(а):
Cпасибо большое за помощь! Про топик понял, думал что в теме ДВИ 2018 не актуально спрашивать про 70-ые года.
Только одного не понял - как найти эту 1/2 из ур-ия 5-6х-4sin((πx)/3)=0

56.

а) Актуально. В теме МГУ ДВИ 2017 обсуждались варианты МГУ следующих годов:
1969, 1973, 1974, 1975, 1976... Примеры - вполне приличные. Тригонометрия
вызовет затруднения не только у Вас.

б) На промежутке `pi/(18) le (πx)/3 le pi/2` ищутся два корня уравнения. Совершенно естественно
проверить те значения, при которых синус - рациональное число, т.е. `(πx)/3=pi/6` и `(πx)/3=pi/2`.
Не обманул - корни легко угадываются.

Подробности:

Подробности:

Подробности:

Подробности:

Подробности:

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 15 авг 2018, 06:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 авг 2018, 15:46
Сообщений: 23
Здравствуйте, можете пожалуйста подсказать несколько моментов?
1) Правильно ли я нашёл ОДЗ в неравенстве? (указано на атачменте)
2) Как лучше решить это н-во, просто опустить логарифмы или через рационализацию, или каким-то другим способом?
При опускании логарифмов получается область (-3/4; 0) U (1; ∞) и тогда не получается ответ (тоже указан на атачменте).
А через рационализацию получается (-∞; -3/4) U (0; 1), и здесь я бы уже мог получить ответ, если бы не моё скорее всего неверное ОДЗ.
3) Как упростить это уравнение?


Вложения:
qNPrk2CLqoo.jpg
qNPrk2CLqoo.jpg [ 75.27 KIB | Просмотров: 2027 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 15 авг 2018, 08:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1730
Откуда: Москва
1) В неравенстве нет смысла искать ОДЗ , достаточно перейти к равносильной системе ( с учетом того, что косинус меньше 1 , решили вы его неверно , знак надо менять , при правильном решении получается указанный вами ответ `(1/2;1)` , при этом надо проверить, что полученное множество удовлетворяет всем ограничениям
2) уравнение легко привести к виду :` (1/2log_2(x+1)-log_2(x-1))*(x-4/3)=0`

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 15 авг 2018, 12:45 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5725
Откуда: Москва
Подробности:
Webmex писал(а):
Здравствуйте, можете пожалуйста подсказать несколько моментов?
1) Правильно ли я нашёл ОДЗ в неравенстве? (указано на атачменте)
2) Как лучше решить это н-во, просто опустить логарифмы или через рационализацию, или каким-то другим способом?
При опускании логарифмов получается область (-3/4; 0) U (1; ∞) и тогда не получается ответ (тоже указан на атачменте).
А через рационализацию получается (-∞; -3/4) U (0; 1), и здесь я бы уже мог получить ответ, если бы не моё скорее всего неверное ОДЗ.
3) Как упростить это уравнение?
Изображение

57. `log_(cos x^2) (3/x-2x) lt log_(cos x^2) (2x-1) quad iff quad {(3/x-2x gt 2x-1),(2x-1 gt 0),(0 lt cos x^2 lt 1):} quad...`

58. Во второй раз для Вас загружаю шпаргалку по решению простейших логарифмических
неравенств и во второй раз привожу ссылки на литературу:

а) Посмотрите пункт 3 в шпаргалке:
Подробности:
Вложение:


б) Ткачук В.В. Матетематика абитуриенту, Справочник, 1. Шпаргалки, 6. Показательные,
логарифмические и смешанные уравнения и неравенства; Урок 19 - 21.

в) Уравнения и неравенства. Вавилов В.В. Главы 2 и 3, параграф 4.

59. `a=log_(2)(x+1), quad b=log_(2)(x-1), quad 1/2(x+4)a-(x-4)b=8/3(a+b), quad (x+4)a-2(x-4)b-(16)/3(a+b)=0,`

`qquad x (a-2b)+4a+8b-(16)/3a-(16)/3b=0, quad x ( a-2b)-4/3a+8/3b=0, quad x (a -2b)-4/3(a-2b)=0, quad (x-4/3)(a-2b)=0,`

`qquad (x-4/3)(log_(2)(x+1)-2log_(2)(x-1))=0.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2018
 Сообщение Добавлено: 15 авг 2018, 14:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 29 окт 2014, 22:13
Сообщений: 2728
hpbhpb писал(а):
Vladimir Serov писал(а):
Спасибо. Надеюсь, что смогу разобраться в решении.


Помимо решений, предложенных OlG, это простое неравенство можно решать с помощью замены `sqrt(x+1)=t`. Ну а дальше всё стандартно: метод расщепления, метод рационализации, метод интервалов и т.д. Попробуйте. Там несложно. Удачи!


Здесь было мое решение указанного неравенства, но написанное от руки. Я его отпечатал и поместил на с. 21. Там же одновременно привел решение с использованием тригонометрической подстановки.


Последний раз редактировалось rgg 31 авг 2018, 00:12, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 18 из 21 [ Сообщений: 205 ] На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21  След.




Список форумов » Просмотр темы - МГУ ДВИ 2018


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 7

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: