Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Физика




 Страница 5 из 5 [ Сообщений: 50 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2021, 10:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 5077
А вот еще на сайте рассматривалась задача в 2016 году...
viewtopic.php?f=189&t=14109

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2021, 12:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 864
aleph писал(а):
ar54 писал(а):
Получилось неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Попробую провести все выкладки с самого начала, используя предложенную Вами подстановку:

Подробности:
`{((dv_x)/(dt)=(qE)/m-(qB)/m v_y),((dv_y)/(dt)=(qB)/m v_x):} quad <=> quad {((dv_x)/(dt)=omega*(V-v_y)),((dv_y)/(dt)=omega*v_x),(omega=(qB)/m),(V=E/B):}quad => quad \frac{d^{2}v_{y}}{dt^{2}}+omega^{2}v_{y}=omega^{2}V quad<=>quad ddot(v)_y+omega^2(v_y-V)=0`
Возьмем `u(t)=v_y(t)-V`.
`u(t)=v_y(t)-V quad<=>quadv_y(t)=u(t)+Vquad=>quadddot(v)_y=ddotu`.

Значит, `{(ddot(v)_y+omega^2(v_y-V)=0),(v_y(t)=u(t)+V),(ddot(v)_y=ddotu):} <=> ddotu+omega^2u=0<=>u(t)=Acos(omegat+alpha),quadA,alpha-const.`
Вспомним, что задача решается при начальных условиях : `{(v_x(0)=0),(v_y(0)=v_0),(dotv_{y}(0)=omegav_{x}(0)=0):}quad=>quad{(u(0)=v_{0}-V),(dotu(0)=0.):}`
Это поможет определить константы `A` и `alpha`.
`u(0)=v_{0}-V quad => quad Acosalpha=v_{0}-V`,
`dotu(0)=0 quad => quadAsinalpha=0`. Поэтому `u(t)=Acosomegatcosalpha-Asinomegatsinalpha=(v_{0}-V)cosomegat quad<=>quad v_{y}(t)=(v_{0}-V)cosomegat+V`.
И наконец, `intd(y(t))=intv_{y}(t)dt=int((v_{0}-V)cosomegat+V)dt=(v_{0}-V)/omegaintcos(omegat)d(omegat)+intVdtquad=>quady(t)=(v_{0}-V)/omegasinomegat+Vt+C_1`;
`intd(x(t))=intv_{x}(t)dt=int(omegaVt-omegay(t))dt=-(v_{0}-V)/omegaintsin(omegat)d(omegat)quad=>quadx(t)=(v_{0}-V)/omegacosomegat+C_2`.
Полагая `x(0)=y(0)=0`, легко убедиться что `C_1=0,quadC_2=-(v_{0}-V)/omega`.

Вывод: в скрещенных электрическом и магнитном полях, при заданных нами начальных условиях, заряженная частица будет двигаться по кривой, задаваемой системой уравнений `{(x(t)=(v_{0}-V)/omegacosomegat-(v_{0}-V)/omega),(y(t)=(v_{0}-V)/omegasinomegat+V/(omega)\cdotomegat.):}`
Отлично, aleph!
Подробности:
Комментарий 1. Общее решение канонического уравнения гармонических колебаний `ddot s+omega^2 s=0` иногда удобнее записывать в виде `s(t)=acos(omega t)+b cos(omega t)`, имея ввиду, что определение неизвестных коэффициентов `a\text( и ) b` получается более простым, чем определение амплитуды `A` и начальной фазы `alpha_0` колебаний.
Комментарий 2 При интегрировании предпочтительнее использовать определенные интегралы. Например:
`int_(y(0))^(y(t)) dy=int_0^t v_y(t)dt=int_0^t [(v_0-V) cos omegat+V]dt=[(v_{0}-V)/omega sin omegat +Vt]_0^t => y(t)=(v_{0}-V)/omega sin omegat+Vt`
Комментарий 3 Для полноты картины (и для ясности изложения) следовало бы выписать явным образом выражение для `v_x(t)`: `v_x(t)=(dot(v)_y(t))/omega=-(v_0-V)sin omega t`
А затем (используя явное выражение для `v_x(t)`):
`x(t)=int_0^t v_x(t)dt=int_0^t -(v_0-V) sin omegat dt=[(v_0-V)/omega cos omegat]_0^t=(v_0-V)/omega (cos omegat-1)`
или (без использования явного выражения для `v_x(t)`):
`x(t)=int_0^t v_x(t)dt=int_0^t (dot(v)_y(t))/omega dt=int_(v_(y0))^(v_y) (dv_y)/omega=[(v_y(t))/omega]_0^t=(v_y(t)-v_0)/omega=(v_0-V)/omega (cos omegat-1)`


Последний раз редактировалось ar54 02 июл 2021, 17:31, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2021, 12:23 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 864
eduhelper писал(а):
eduhelper писал(а):
Для улыбки: позволю предположить что в свое время Вы Александр Дмитриевич, "открывали" книгу Теория поля Ландау Л.Д , Лифшиц Е.М.
https://1lib.education/book/3205452/697 ... ret=697d0e .

Для еще более широкой улыбки, старинный анекдот: На конечной станции кондуктор осматривает вагоны и в одном видит на лавочке заснувшего студента, а рядом лежит книжка Ландау "Теория поля".
Кондуктор будит студента: "Ну вставай, агроном, приехали!" :)
А.В., вынужден согласиться с Вами - конечно же в свое время Теорию поля сдавал и, значит, читал Ландау-Лифшица. Но, хоть убей, не помню этого примера (Видно, память моя однобока... :) ).
А анекдот - помню!
Спасибо Вам за ссылки по этой теме!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2021, 18:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 864
aleph писал(а):
Задача 27_3
Подробности:
Рассмотрим сначала случай с заряженным шариком.
Вложение:
27_3.png

Пусть его заряд `q` - положительный. Запишем второй закон Ньютона на ось Ox для шарика, находящегося в электрическом поле равномерно заряженной плоскости с напряженностью `vec(E)`: `m\ddot{x}=-(mg+qE)\sin\varphi=-(mg+qE)\sin\frac{x}{l}`, где `x` - длина дуги, `l` - длина нити. Так как `\frac{x}{l}`много меньше единицы (малые колебания), окончательно имеем:
`\ddot{x}+(\frac{g+\frac{qE}{m}}{l})x=0`, а это известное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой `\omega=sqrt(\frac{g+\frac{qE}{m}}{l})`. Таким образом период колебаний заряженного шарика `Т_{\text{заряж}}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+\frac{qE}{m}}}`.

Период же незаряженного шарика определяется по формуле `Т_{\text{незаряж}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}`.

`\frac{Т_{\text{незаряж}}}{Т_{\text{заряж}}}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g+\frac{qE}{m}}}}=\sqrt{1+(qE)/(mg)}>1`.

Вывод: период малых свободных колебаний шарика после сообщения ему положительного заряда уменьшится.

Подробности:
Комментарий 1. Посмотрите на выделенное красным. Вы невольно можете ввести читающего в заблуждение, поскольку стандартно под осью `Ox` понимается горизонтальная ось. А в вашем решении вы выписываете второй закон Ньютона в проекции на тангенциальную ось сопутствующей системы координат (на орт `vec(tau)`). Другими словами, Вы записываете 2-ой закон Ньютона для тангенциального ускорения `a_(tau)(t)`, направленного в каждой точке траектории по касательной. И под переменной `x(t)` в вашем решении понимается не горизонтальная координата шарика, а дуговая координата, связанная с угловой координатой соотношением `(x(t))/l= phi(t)`.
Кстати, рисунок выполнен правильно. Обратите внимание, как в своей статье Черноуцан освещает этот момент.
Комментарий 2. В принципе, для ответа на вопрос задачи вывод уравнения малых колебаний излишен. Чем отличается эта задача от стандартной задачи о малых колебаниях математического маятника в однородном поле тяжести Земли (решение которой всем известно)? Наличием дополнительной полевой силы `q vec(E)`, сонаправленной с силой тяжести.
Суммарная полевая сила, действующая на шарик есть `vecF_Sigma=mvecg+qvecE=mvecg(1+(qE)/(mg))=mvecg'`
Видим, что это задача о малых колебаниях математического маятника в эффективном однородном поле тяжести с напряженностью `vecg'` (опыт проводится на планете с ускорением свободного падения `vecg').
Тогда `T'=2pisqrt(l/(g'))=T/sqrt(1+(qE)/(mg)) < 1`
Комментарий 3. Преимуществом использованного Вами подхода к решению этой задачи является то, что получается дифференциальное уравнение, точно описывающие колебания маятника и при больших амплитудах! И, с использованием угловой координаты, выведенное Вами уравнение имеет вид `ddot(phi)+(g')/l sin phi=0`. Видим, что колебания маятника с произвольной амплитудой не являются гармоническими.
Комментарий 4.Игорь Иванович (Igor5) в своем комментарии к этой задаче проектировал 2-ой закон Ньютона на горизонтальную ось Ох. Однако в этом подходе точного уравнения для колебаний с произвольной амплитудой не получается. Кроме того требует обоснования (должно следовать из малости колебаний) выписанное приближенное уравнение `T~~mg'cos phi~~mg'` (точное уравнение для натяжения нити есть `T=mg' cos phi+(mv^2)/l`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 03 июл 2021, 11:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 окт 2020, 19:56
Сообщений: 64
ar54 писал(а):
Еще раз о Задаче 27_4

Задача действительно интересная!
ar54 писал(а):
Комментарий 3 Для полноты картины (и для ясности изложения) следовало бы выписать явным образом выражение для `v_x(t)`

Согласен. Спасибо за этот и другие комментарии.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 03 июл 2021, 12:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 окт 2020, 19:56
Сообщений: 64
ar54 писал(а):
Комментарий 1. Посмотрите на выделенное красным. Вы невольно можете ввести читающего в заблуждение, поскольку стандартно под осью `Ox` понимается горизонтальная ось.


Если я правильно понимаю, разговор о тангенциальной и нормальной составляющих ускорения возникает при естественном способе описания движения: там вводится точка начала отсчета, договариваются о положительном направлении вдоль траектории и вводят дуговую координату, как расстояние от начала отсчета до некоторой точки на траектории.

Как мне видится, проблема в том, что у меня в решении ось, на которую рассматриваются проекции векторов сил, имеет то же название что и дуговая координата. Наверное её стоило назвать как-то иначе, например, `s(t)` .

Кстати, то, что `x` - не горизонтальная координата шарика при его отклонении я понял сразу.
aleph писал(а):
Запишем второй закон Ньютона на ось Ox для шарика, <...>, где `x` - длина дуги, `l` - длина нити.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 04 июл 2021, 12:13 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 864
aleph писал(а):
Если я правильно понимаю, разговор о тангенциальной и нормальной составляющих ускорения возникает при естественном способе описания движения: там вводится точка начала отсчета, договариваются о положительном направлении вдоль траектории и вводят дуговую координату, как расстояние от начала отсчета до некоторой точки на траектории.
Как мне видится, проблема в том, что у меня в решении ось, на которую рассматриваются проекции векторов сил, имеет то же название что и дуговая координата. Наверное её стоило назвать как-то иначе, например, `s(t)`

Вы все правильно понимаете. И да, естественную координату вдоль траектории многие обозначают как `s(t)`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 11 июл 2021, 18:18 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 ноя 2010, 23:55
Сообщений: 1220
Откуда: г. Москва
Подробности:
ar54 писал(а):
…уравнение имеет вид `ddot(phi)+(g')/l sin phi=0`. Видим, что колебания маятника с произвольной амплитудой не являются гармоническими.

Продолжение здесь http://www.math24.ru/нелинейный-математический-маятник.html.

Уравнение `ddot(phi)+(g')/l sin phi=0` описывает любые углы отклонений, в аналитической форме не решается. Без аппроксимаций все равно не обойтись. Только это как-то не по-школьному.

Перед нами школьная задача. Необходимо получить `T = 2 pi sqrt(L/g)` используя приемлемые приближения.

По-школьному в учебнике `a_tau`тихонечко становится `a_x`; при этом ось ОХ «танцует», и нам как-бы предлагается не замечать это. Вот эта гуляющая ось и смущает.

Попытки ее зафиксировать приводят к грубости в другом месте, ( упрощение относительно силы натяжения `~~ mg`). Но при этом хотя бы ось фиксирована.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 01 авг 2021, 20:17 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 дек 2010, 13:36
Сообщений: 5077
eduhelper писал(а):
...
Кондуктор будит студента: "Ну вставай, агроном, приехали!" :)

Цитата из одного поста этой ветки. :)
Александр Дмитриевич: а теперь для расширения кругозора, или вернее в виде подсказки для вспоминания ранее изученного. :)
На хорошем уровне вопросы движения заряженных частиц в электромагнитном поле рассмотрены в книге А.Н.Матвеев Механика и теория относительности
https://go.mail.ru/search?q=%D0%90.%D0% ... est_id=829
Приведена теория вопроса и применение в различных ускорительных системах.

_________________
Цель ничто - движение все.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
 Сообщение Добавлено: 02 авг 2021, 17:02 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 864
eduhelper писал(а):
....
Александр Дмитриевич: а теперь для расширения кругозора, или вернее в виде подсказки для вспоминания ранее изученного. :)
...
Анатолий Васильевич! С вашей подачи попробую почитать Матвеева (пару раз в жизни пытался по этому учебнику разобраться с избранными вопросами, но что-то не пошло...) - надо же знать как учат общей физике в ведущем вузе страны.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 5 из 5 [ Сообщений: 50 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: