Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
https://alexlarin.com/

Дифференциальное уравнение в №27 тренировочного варианта
https://alexlarin.com/viewtopic.php?f=184&t=17345
Страница 1 из 1

Автор:  aleph [ 04 авг 2021, 22:37 ]
Заголовок сообщения:  Дифференциальное уравнение в №27 тренировочного варианта

Условие задачи
Подробности:
Вложение:
27_rad.png
27_rad.png [ 105.85 KIB | Просмотров: 1579 ]

Составители предлагают схему численного решения уравнения
`(dT)/dt=-k(T-T_{0})\qquad(1)`,
которая достаточно понятна. Стало интересно найти точное решение. Попробую это сделать.

Итак, перепишем уравнение `(1)` в виде
`(dT)/dt+kT=kT_0\qquad(2)`.
Дифференцируем `(2)` по времени и объявляем новую переменную `u(t)=dotT`. Получим дифференциальное уравнение с новой переменной
`dotu=-ku\qquad(3)`.
Решением уравнения `(3)` будет функция
`u(t)=Cexp(-kt)`, где `C` - некоторая константа.
Проверить, что найденная функция является решением, можно непосредственным дифференцированием, а также об этом можно прочитать, например, в параграфе 1 книги из серии Знакомство с высшей математикой, Дифференциальные уравнения и их приложения. Л. С. Понтрягин. Наука, 1988.

Константу `C` найдем, полагая `T(0)=T_{\text{нач}}`, где `T_{\text{нач}}` - температура нагретого тела перед началом наблюдения (в условии задачи равна `200^{@}C`). После несложных преобразований можно, наконец, выписать искомую зависимость `T=T(t)`:
`T(t)=T_{0}+(T_{\text\{нач}}-T_{0})\cdotexp(-kt)`.

Рассуждения о погрешности результатов:
Подробности:
Пусть `Delta\tilde{T}_{i}` и `DeltaT_{i}` приближенное и точное значения убыли температуры на `i\text{-м}` шаге соответственно. Для `i=1`, имеем
`Delta\tilde{T}_{1}=-k(T_{\text{нач}}-T_{0})\Deltat`,
`DeltaT_{1}=(T_{\text{нач}}-T_{0})\cdot(exp(-k\Deltat)-1))`.
`delta(Delta\tilde{T}_{1})=\frac{|(T_{\text{нач}}-T_{0})\cdot(exp(-k\Deltat)-1)-(-k(T_{\text{нач}}-T_{0})\Deltat)|}{|-k(T_{\text{нач}}-T_{0})\Deltat|}=\frac{|exp(-k\Deltat)+k\Deltat-1|}{kDeltat}`.
При `Deltat=3\text{ мин}` относительная погрешность `delta(Delta\tilde{T}_{1})` равна приблизительно `0,07`.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/