Все подходы правомерны и дадут правильный ответ в случае полусферы/полушара в том числе. Какой из них использовать определяется геометрией. Полуцилиндрическая подставка интересна тем, что позволяет рассмотреть все 3 подхода.

В случае сферической подставки (РОСАТОМ 2013 11 кл) для использования 2) или 3) необходимо находить/знать положение центра масс части поверхности сферы между меридианами. Как это быстро, «на пальцах» найти, в отличие от полудиска/полуцилиндра пока по-крайней мере не видно. Но задача решается через подход 1). Для этого все равно необходимо знать/находить ЦМ полусферы.

Игорь Иванович,
конечно, я мог бы показать, как решается эта задача без интегрирования. Но Вы и сами знаете (просто забыли), ведь это - задача г) для самостоятельного решения из статьи Ромашкевича. Все необходимые идеи для ее решения подробно разобраны в задачах 8 и 3 статьи .
Если будете решать, опубликуйте полученный Вами ответ, пожалуйста.

Ответы к задачам об устойчивом равновесии:
для сферической поставки
для цилиндрической подставки

Игорь Иванович, я имел ввиду не эти ответы (ответы, конечно же верны), а ответ на задачу, сформулированную вами: как без интегрирования найти ЦМ части сферы (которая между меридианами) (другими словами: ответ на задачу г) из статьи).

Вероятно, как Вы подсказываете, можно. Я не читал статью, пытался рассуждать самостоятельно. Увы, своими рассуждениями я не увидел, как это можно сделать легко или хотя бы как-то.

Посмотрел статью, занимательно.
Муторно, но можно. Положение ЦМ обозначенного участка сферы будет `pi*R*sin(alpha/2)/(2*alpha)`
Как и ожидалось, если сложная часть пройдена, то подход 2) проверенно работает.
`3 m (L/2-R) sin alpha < (Delta m * pi* R sin (alpha/2)) /(2 alpha)`, где `alpha` малый угол отклонения от положения равновесия
`3 m (L/2-R) alpha < m * (2 alpha)/pi* (pi* R sin (alpha/2)) /(2 alpha)`
`L < (7R)/3
Нет надобности проверять 3) подход, он тоже будет работать.

Игорь Иванович, а будет ли цилиндрическая подставка со стержнем устойчивой, если `L=2R`, или меньше ? ДЕ=L=2R, АД -вертикаль, АЕ- горизонталь.

_________________
Цель ничто - движение все.

Представленные выше ответы справедливы для положения конструкции с вертикальным стержнем, как показано на первом рис в заголовке топика. Вы рассматриваете другое положение, здесь будут свои рассуждения и ответы.

Любое условие каждый может трактовать как угодно... Я понимаю так: можно и нужно в таких задачах, говорить об абсолютно устойчивом равновесии, считая исходным когда подставка расположена в низу, а стержень вертикально. Система должна возвращаться в исходное вертикальное положение и из того, что я показал на русунке, т.е. из любого возможного (из положения лежа на боку, когда стержень верхним торцом касается горизонтали, т.е. снова о Ваньке встаньке, который возвращается в вертикальное состояние из любого положения). Но конечно уж думаю, что не надо выходить за рамки разумного и рассматривать случаи когда поворот продолжается и подставка отрывается от горизонтали, но считая исходным положение когда подставка расположена в низу стержень перпендикулярно вверх (система ставится на стержень, хотя такие случаи могут сами по себе являться довольно интересными задачами).

_________________
Цель ничто - движение все.

Анатолий Васильевич, эта задача сформулирована однозначно. Но, конечно, Вы правы, ее можно модифицировать чуть ли не до бесконечности. Например, при заданном соотношении длины стержня и радиуса, а также их масс и начального положения определять угол максимального отклонения Это другие задачи. И это может быть интересно, если привнесет новые подходы к решению.