Добрый день, Галина! Во-первых, поднял эту тему не я, а OlG, видимо после изучения статьи Н.Н.Осипова в 1 номере МвШ нынешнего года. Во-вторых, рассмотрение такого класса диофантовых уравнений уводит в такие дебри (метод Рунге, хотя в вышеупомянутой статье сделана попытка перевести эту проблему на язык более элементарной математики). Я только сейчас понял, что найденное мною разложение на множители левой и правой частей уравнения - это только первый шаг, а дальше возникает проблема перебора, который может оказаться гораздо более трудной задачей. На мой взгляд, Н.Н.Осипов предложил и продемонстрировал интересную идею метода сокращения перебора, заодно и доказав конечность множества целочисленных решений рассматриваемого класса диофантовых уравнений с двумя неизвестными (третьей степени), но в то же время указал на трудность алгоритмизации этого метода. В-третьих, к сожалению, эта тема слишком далеко выходит за пределы обсуждаемой проблематики задач, даже на нашем форуме. Это уже область серьезной науки, хотя как тема научно-исследовательского проекта может быть предложена Вашим (и не только) ученикам.

Да, так и есть. Первый шаг можно делать по разному, а вот второй --- это почти всегда оценки+последующий перебор. В данном случае можно поступить так. Из Вашего равенства и взаимной простоты чисел $x+y+2$ и $x+y+3$ следует система равенств $4x+3y+2=k(x+y+2)$, $2x^2-y^2+2=k(x+y+3)$ с некоторым целым $k$. Нам достаточно показать, что это $k$ может изменяться только в ограниченных пределах. А это следует вот из каких соображений. При больших $|x|$ мы имеем либо $y \approx -x$, либо $y \approx \pm \sqrt{2}x$. В первом случае равенства выше будет противоречивы при больших $|x|$. Во втором случае величина $$k=\frac{4x+3y+2}{x+y+2}$$ очевидно будет ограниченной при достаточно больших $|x|$. Разумеется, этим соображениям качественного характера необходимо придать количественную форму, т.е. перейти к строгим оценкам.

Можно сказать, в общем случае уравнения такого вида решаются без оценок и перебора только если очень повезёт. Если кому-нибудь в этом примере повезёт, это будет удивительно.

Вот задача, в которой, в отличие от предыдущей, возможно короткое решение, доступное даже 9-класснику.

Докажите, что не существует натуральных чисел $x$ и $y$, для которых $2x^4y=2x^3+y^3+1$.

Попробуйте найти это простое доказательство.

Коллеги, кому-нибудь попадалось уравнение $x^4-x^3-x^2+x=1/5$? (Возможно, оно в этой теме есть, но искать трудно.)

`qquad x^4-x^3-x^2+x=1/5 quad iff quad (2x^2-x+a)^2-((4a+5)x^2-2(a+2)x+(a^2+4/5))=0 quad iff`

`quad iff quad (2x^2-x)^2-(sqrt(5)x-2/sqrt(5))^2=0 quad iff quad (2x^2-(1+sqrt(5))x+2/sqrt(5))(2x^2-(1-sqrt(5))x-2/sqrt(5))=0`.

_________________
Никуда не тороплюсь!

OlG
Спасибо. Но проблема не в том, чтобы его решить (решается оно действительно самым стандартным образом). Хочется узнать, не возникало ли это уравнение при решении каких-нибудь геометрических задач.