Пусть `A` и `B` центры 2 окружностей, а `M` и `N` центры их внутреннего и внешнего подобия соответственно.
Доказать что `(AM)/(AN)=(BM)/(BN)`.

Если знать, что такое "центр подобия", и что такое "преобразование подобия", то доказывать нечего. Ну разве что переписать вашу пропорцию в эквивалентной форме `(AM)/(BM)=(AN)/(BN)= сами знаете чему`.

Если быть жертвой неудачного учебника, где подобие вводится искусственно и через одно место - тогда могут быть проблемы.

Я голову сломал пока нашел человеческое доказательство того что четверка точек `(ABMN)=-1` гармоническая, такое впечатление что специально стоит задача помешать учащемуся разобраться и понять, доступного определения гармонической четверки точек я так и не нашёл)

Чтобы разобраться в преобразованиях подобия - совершенно не надо лезть в проективные преобразования. Это что-то разряда "из пушки по воробьям". Примерно как доказывать иррациональность `2^(1/3)` через Великую Теорему Ферма.

У меня это скорее следствие) потратив уйму времени я смог найти доказательство школьного уровня что 6 центров подобия 3-х окружностей коллинеарны и образуют 4 прямые, произведя построения данного конструкта увидел полный четырёхсторонник, в котором диагоналями выступали прямые соединяющие центры окружностей, а так как четырёхсторонник вкупе с своими диагоналями даёт четверку гармонических точек то пришел к однозначному выводу что таковой и является четверка точек из центров 2 окружностей и 2 центров их подобия.
Безусловно, разобраться в этом факте можно чисто школьными знаниями, но я зашёл с другой стороны)

Школьные знания - понятие растяжимое.

Про проективную геометрию в ее чисто геометрическо-прикладном разрезе расскажут скорее в школе, чем в универе. В универе про проективную геометрию тоже расскажут, но в другом разрезе, и, очень часто, вскользь - рассказали и забыли.

Не бейте тапками, то, что школ, где говорят про проективную геометрию, и пару десятков на страну не наберется, я знаю. Но есть еще кружки и самостоятельные занятия, так что число школьников в теме превышает число выпускников тех школ.

Извините за оффтоп, просто поделиться) В 44 года узнал про "инвариантность" вписаннно-описанных многоугольников.... Ни в школе, ни в ВУЗе преподаватели не показывали такой красоты... Узнал при анализе задачи которую решал сотрудник, кстати автор задачи про точки в угле, после чего пришлось долго гуглить пока смог найти информацию про это в интернете. Может, если бы в школе преподавали геометрию с точки зрения красоты, успеваемость была бы выше.

Сказали А - скажите и Б. Иначе придется гадать, что именно вы имели в виду.

А школу ничего не спасет. Просто потому, что она массовая, а массам хочется про котиков, а не про треугольники.

Если взять любой вписанно описанный n-угольник, построить его описанную и вписанную окружности, после чего стереть n-угольник, то выбрав произвольную точку на описанной либо вписанной окружности и построив от нее, как от вершины n-угольника (для описанной) и как точки касания (для вписанной) окружностей, n-угольник, получим бесконечное кол-во замкнутых n-угольников.
Доказательство, в итоге, сводится к к поризму Понселе, после осознания этого факта гораздо лучше воспринимается теорема Эйлера (в некоторых источниках формула Эйлера) про расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника. Удивительно что сам ее доказывал, применял при решении задач, но, как оказывается без понимания сути самого явления.

Так это и есть поризм Понселе, в чистом виде. От того, что вы заменили произвольные кривые второго порядка на окружности, ровным счетом ничего не поменялось.

Но доказывать теорему Эйлера через поризм Понселе, по-моему, из пушки по воробьям.

Не говоря уже о том, что теорема Эйлера рассматривается в редком математическом классе, и уж точно никогда не будет рассматриваться в общеобразовательной школе.

И да, теорема Эйлера - красивая теорема. Есть еще 100500 красивых планиметрических теорем 18-19 веков рождения. Почти все они забыты, просто потому, что их автор не столь знаменит, как Эйлер.

Почему про теорему Эйлера непременно стоит рассказать детям, кроме эстетических соображений и отмычки для решения искусственных задач, построенных вокруг прямой Эйлера? Математика огромна и там есть много того, про что можно рассказать детям, почему именно прямая Эйлера?