Пусть `A` и `B` центры 2 окружностей, а `M` и `N` центры их внутреннего и внешнего подобия соответственно.
Доказать что `(AM)/(AN)=(BM)/(BN)`.

Если знать, что такое "центр подобия", и что такое "преобразование подобия", то доказывать нечего. Ну разве что переписать вашу пропорцию в эквивалентной форме `(AM)/(BM)=(AN)/(BN)= сами знаете чему`.

Если быть жертвой неудачного учебника, где подобие вводится искусственно и через одно место - тогда могут быть проблемы.

Я голову сломал пока нашел человеческое доказательство того что четверка точек `(ABMN)=-1` гармоническая, такое впечатление что специально стоит задача помешать учащемуся разобраться и понять, доступного определения гармонической четверки точек я так и не нашёл)

Чтобы разобраться в преобразованиях подобия - совершенно не надо лезть в проективные преобразования. Это что-то разряда "из пушки по воробьям". Примерно как доказывать иррациональность `2^(1/3)` через Великую Теорему Ферма.

У меня это скорее следствие) потратив уйму времени я смог найти доказательство школьного уровня что 6 центров подобия 3-х окружностей коллинеарны и образуют 4 прямые, произведя построения данного конструкта увидел полный четырёхсторонник, в котором диагоналями выступали прямые соединяющие центры окружностей, а так как четырёхсторонник вкупе с своими диагоналями даёт четверку гармонических точек то пришел к однозначному выводу что таковой и является четверка точек из центров 2 окружностей и 2 центров их подобия.
Безусловно, разобраться в этом факте можно чисто школьными знаниями, но я зашёл с другой стороны)

Школьные знания - понятие растяжимое.

Про проективную геометрию в ее чисто геометрическо-прикладном разрезе расскажут скорее в школе, чем в универе. В универе про проективную геометрию тоже расскажут, но в другом разрезе, и, очень часто, вскользь - рассказали и забыли.

Не бейте тапками, то, что школ, где говорят про проективную геометрию, и пару десятков на страну не наберется, я знаю. Но есть еще кружки и самостоятельные занятия, так что число школьников в теме превышает число выпускников тех школ.