Пифагор учил, что из монады и диады гипостазировались числа, из чисел – точки, из точек – линии, из линий – плоские фигуры, из плоских – телесные фигуры, данные в ощущениях.
Пифагор одни геометрические проблемы впервые доставил из Египта, другие открыл сам. Все семнадцать теорем Евклида исходят от Пифагора.
Пифагор открыл теорему: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Пифагору принадлежит постановка трех знаменитых математических проблем его школы. Эти проблемы таковы:
1. Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.
2. Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объем, вдвое больший объема заданного куба («делийская проблема»).
3. Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.
Пифагором открыта и одна из проблем, заключающаяся в построении по двум заданным фигурам третьей, равной по площади одной из заданных и подобной другой.
Теорема, открытая пифагорейцами: «Во всяком треугольнике, при продолжении одной из сторон, внешний угол равен двум внутренним и противолежащим, а три внутренних угла треугольника вместе равны двум прямым углам».
Открытия параболы, гиперболы и эллипса сприменением площадей – древние и принадлежат Музе пифагорейцев. Когда данная площадь, построенная на данной прямой, совпадает с прямой на всей протяженности, тогда эта площадь «прикладывается» (образует параболу) к прямой; когда длина площади получится больше самой прямой, тогда она образует гиперболу; а когда меньше, так что после построения площади некий отрезок прямой остается вне ее, тогда она «образует эллипс».
Парадоксальная теорема Пифагора: «только три многоугольника могут заполнить все пространство вокруг одной точки: равносторонний треугольник, квадрат и равносторонний и равноугольный шестиугольник». Названные фигуры заполняют это пространство так: равносторонний треугольник, взятый шесть раз, так как две трети прямого угла на шесть будет четыре прямых; шестиугольник – три раза, так как каждый угол шестиугольника равен одному прямому с третью, а квадрат – четыре раза, так как каждый угол квадрата – прямой. Таким образом, пространство заполняют шесть равносторонних треугольников, сходясь углами в одной вершине, или три шестиугольника, или четыре квадрата. Любые другие многоугольники, как их ни прикладывай углами, дают в сумме либо меньше четырех прямых, либо больше, и только эти, согласно указанным числам, составляют ровно четыре прямых.
Он открыл развертывание потенций линий шара, исходящих из одной точки. Монада в геометрии Пифагора выражается одной точкой – центром сферы. Прекраснейшей из телесных фигур он считал шар.
Пифагор открыл, что периметр круга не равен трем диаметрам, как считали многие, а больше трех, и что круг, вписанный в треугольник, равен трем четвертым треугольника. Периметр круга он определил в три целых и одну седьмую его диаметра, вычислив таким образом одно из важнейших иррациональных чисел.
Пифагор открыл тайну симметрии и асимметрии.
Он познал правильный октаэдр и додекаэдр, который считал сутью кристаллов пирита, что находят в Италии.
Пифагор открыл тайну построения двадцатиугольника, то есть двенадцатигранника, одной из пяти объемных фигур, которые можно вписать в форму сферы.
Пифагор описал правила построения объемных фигур, определения площадей и объемов для шара, ци¬линдра, конуса, пирамиды, усеченной пирамиды, куба, параллелепипеда, ромба.
Он же обнаружил рациональный треугольник – эпитрит со сторонами в 3, 4 и 5 частей. Согласно не¬которым свидетельствам, Пифагор узнал о нем от египетских гарпедонаптов, которые строили прямые углы с помощью веревки, имевшей три, и четыре, и пять (всего двенадцать) узлов.
Пифагор искал геометрическое среднее единицы и двойки. Это привело его к изучению отношений сторон и диагонали квадрата. Так он обнаружил, что такое отношение не выражается рациональным числом.
Пифагор изобрел изощренные геометрические спирали. Спираль, вычисленная Пифагором, графически изображает ряд чисел, в котором каждое последующее число есть сумма двух предыдущих (т. е. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т. д.). Соотношение двух соседних чисел между собой дает иррациональное число (3 к 2, 5 к 3, 8 к 3, 13 к 8 и т. п.). При этом по мере возрастания чисел в ряду соотношение между ними ближе к наиболее полному значению этого отношения. Это единственное иррациональное число, квадрат которого равен ему с добавлением единицы, а рациональность которого возрастает по мере увеличения чисел в пропорции. Эта пропорция была названа Пифагором божественной, ибо она выражает сокровенные глубинные соответствия, присущие эволюции космоса. Спираль, построенная Пифагором, есть символ движения, развития и развертывания вселенной. Пифагор открыл также, что пропорция, лежащая в основе логарифмической спирали, возникает в пятиугольных формах симметрии, в Пентагоне и в пятиконечной звезде, избранных в свое время символами Пифагорейского тайного союза.
Каждая линия пятиконечной звезды рассекается другой на две части так, что меньшая часть соотносится с большей в пропорции, в какой большая часть соотносится с целой линией.
Открытую божественную числовую пропорцию Пифагор использовал первым для построения прямоугольника со сторонами, относящимися как 5 к 3, 8 к 5 или 13 к 8. Он же обнаружил видимую гармонию золотого сечения и разработал науку о зрительных восприятиях видимых фигур.
Пифагорейцы усовершенствовали угломерный прибор для измерения высоты отдаленных предметов. Им же принадлежит разработка учения о визировании.