Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых имеет единственное решение система `{((3-2sqrt(2))^y+(3+2sqrt(2))^y-3a=x^2+6x+5),(y^2-(a^2-5a+6)x^2=0),(-6<=x<=0):}` Решение:
Подробности:
Какбэ заметим `(3-2sqrt(2))^(-y)+(3+2sqrt(2))^(-y)= ((3+2sqrt(2))/(9-8))^y+((3-2sqrt(2))/(9-8))^y=(3-2sqrt(2))^y+(3+2sqrt(2))^y` , т.е. если `(x_0;y_0)` - решение системы, то и `(x_0;-y_0)` - решение системы, значит единственное решение возможно только при `y=0`. `{(2-3a=x^2+6x+5),((a^2-5a+6)x^2=0),(-6<=x<=0):}` Значит `x=0`, тогда `a=-1` Если `a=-1`, то `{((3-2sqrt(2))^y+(3+2sqrt(2))^y=x^2+6x+2),(y^2-12x^2=0),(-6<=x<=0):}` При `-6<=x<=0 -> -4<=x^2+6x+5<=5 -> -7<=x^2+6x+2<=2; ` при этом `y^2<=12*36 -> -12sqrt(3)<=y<=12sqrt(3)` Рассмотрим функцию `f(y)=(3-2sqrt(2))^y+(3+2sqrt(2))^y=(3+2sqrt(2))^(-y)+(3+2sqrt(2))^y = 1/t+t, (t=(3+2sqrt(2))^y>0);` `f'(t)=1-1/t^2; t=1` -точка минимума `f(1)=2` Такми образом в уравнении `(3-2sqrt(2))^y+(3+2sqrt(2))^y=x^2+6x+2` наименьшее значение левой части равно 2 и совпадает с наибольшим значение правой части. Т.е. корень этого уравнения единственный. Если `a^2-5a+6=0; a=2;3;`, то второе уравнение при `y=0` может иметь бесконечно много решений. Но тогда из первого уравнения `x^2+6x+3+3a=0` - вполне может иметь единственный корень, что и происходит при `3+3a=9; -> a=2` Получаем еще одно значение параметра Ответ: `a=-1; 2`
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения