Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » ЕГЭ




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача ЕГЭ-2022. Вася и Петя играют в игру...
 Сообщение Добавлено: 22 май 2022, 06:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 май 2022, 05:04
Сообщений: 2
Вася и Петя играют в игру: Вася называет Пете некоторое натуральное число k, Петя, в свою очередь, выбирает натуральное n и выписывает на доску числа от 1 до n по порядку. Затем из написанных на доске чисел он выбирает k пар, в которых одно число чётное, а другое нечётное, и меняет местами числа в каждой паре. Петя выигрывает, если сумма квадратов чисел, стоящих на нечётных местах, станет равной сумме квадратов чисел, стоящих на чётных местах. В противном случае выигрывает Вася.
а) Пусть Вася назвал число 1. Сможет ли Петя выиграть, если выберет п = 11?
б) Сможет ли Петя выиграть, если Вася назвал число 4?
в) Пусть Вася назвал число 3. Найдите все n не меньше 1200 и не больше 1250, которые Петя может выбрать, чтобы выиграть.

Необходимо подробное решение. Если у кого есть, пожалуйста скиньте.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача ЕГЭ-2022. Вася и Петя играют в игру...
 Сообщение Добавлено: 22 май 2022, 09:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2027
Откуда: Ставрополь
Anatoly77 писал(а):
Вася и Петя играют в игру: Вася называет Пете некоторое натуральное число `k`, Петя, в свою очередь, выбирает натуральное n и выписывает на доску числа от 1 до n по порядку. Затем из написанных на доске чисел он выбирает `k` пар, в которых одно число чётное, а другое нечётное, и меняет местами числа в каждой паре. Петя выигрывает, если сумма квадратов чисел, стоящих на нечётных местах, станет равной сумме квадратов чисел, стоящих на чётных местах. В противном случае выигрывает Вася.
а) Пусть Вася назвал число 1. Сможет ли Петя выиграть, если выберет `n` = 11?
б) Сможет ли Петя выиграть, если Вася назвал число 4?
в) Пусть Вася назвал число 3. Найдите все `n` не меньше 1200 и не больше 1250, которые Петя может выбрать, чтобы выиграть.

Необходимо подробное решение. Если у кого есть, пожалуйста скиньте.



в)

Подробности:
Пусть Петя выбирает пары чисел `(2x-1;2a)`, `(2y-1;2b)`, `(2z-1;2c)`, где `a,b,c,x,y,z in ZZ`.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. `n=2m`. Тогда модуль разность суммы квадратов чётных и нечётных чисел `\Delta _1`:

`\Delta _1 = \sum_ {i = 1}^m ( 2i)^2 - \sum_{i = 1}^m (2i - 1)^2 = \sum_ {i = 1}^m (( 2i)^2 - (2i - 1)^2)=\sum_ {i = 1}^m (4 i-1)=4*(1+m)/(2)*m-m=m(2m+1).`

Тогда сумма квадратов чётных чисел должна уменьшится на величину `\delta _1`.

`\delta _1=(m (2 m+1))/(2).`

Получаем уравнение:

`\delta _1=(2a)^2+(2b)^2+(2 c)^2-(2x-1)^2-(2y-1)^2-(2z-1)^2=(m (2 m+1))/(2).`

Так как `\delta _1 \equiv 1(\mod 4)`, то `(m (2 m+1))/(2)\equiv 1(\mod 4)`, откуда `m (2 m+1) \equiv 2(\mod 8)`.

Тогда `m \equiv 2(\mod 8).`

То есть `m in {602, 610, 618}.`

Согласно теореме Лежандра о трёх квадратах уравнение

`\delta _1=(2a)^2+(2b)^2+(2 c)^2-(2x-1)^2-(2y-1)^2-(2z-1)^2=(m (2 m+1))/(2).`

будет иметь решение.

Например,

`(m,a, b,c,x,y,z)=(602, 3, 26, 300, 1, 2, 3).`

`(m,a, b,c,x,y,z)=(618, 1, 70,297,1,2,3).`

`(m,a, b,c,x,y,z)=(618, 3, 44, 306, 1, 2, 5).`

Итак, в случае 1 получаются числа:

`n in {1204, 1220, 1236}.`


Случай 2. `n=2 l-1`. Тогда модуль разность суммы квадратов чётных и нечётных чисел `\Delta _2`:

`\Delta _2 = \sum_ {i = 1}^l ( 2i-1)^2 - \sum_{i = 1}^l (2i -2)^2 = \sum_ {i = 1}^l (( 2i-1)^2 - (2i-2 )^2)= \sum_ {i = 1}^l (4 i-3)=4*(1+l)/(2)*l-3 l = l(2l-1).`

Тогда сумма квадратов чётных чисел должна увеличится на величину `\delta _1`.

`\delta _2=(l*(2 l-1))/(2).`

Получаем уравнение:

`\delta _2=-(2a)^2-(2b)^2-(2 c)^2+(2x-1)^2+(2y-1)^2+(2z-1)^2=(l (2l-1))/(2).`

Так как `\delta _2 \equiv 3(\mod 4)`, то `(l (2 l-1))/(2)\equiv 3(\mod 4)`, откуда ` l (2 l-1) \equiv 6(\mod 8)`.

Тогда `l \equiv 2(\mod 8).`

То есть `l in {602, 610, 618}.`

Согласно теореме Лежандра о трёх квадратах уравнение

`\delta _2=-(2a)^2-(2b)^2-(2 c)^2+(2x-1)^2+(2y-1)^2+(2z-1)^2=(l (2 l-1))/(2).`

будет иметь решение.

Например,

`(l,a, b,c,x,y,z)=(602, 2, 38,423,300,301,302).`

`(l,a, b,c,x,y,z)=(610, 1, 208, 367, 301, 302,303).`

`(l,a, b,c,x,y,z)=(618, 5, 57, 415, 301, 302, 303).`

Итак, в случае 2 получаются числа:

`n in {1203, 1219, 1239}.`

Ответ: а) да; б) да; в) `1203, 1204, 1219, 1220, 1239, 1240.`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача ЕГЭ-2022. Вася и Петя играют в игру...
 Сообщение Добавлено: 22 май 2022, 10:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2027
Откуда: Ставрополь
б)

Подробности:
Да, Петя сможет выиграть. Например, Петя называет число `16` и меняет местами числа ровно в четырёх парах `(1; 10), (3; 2), (5; 4), (9; 8).`
Тогда получаем:

`10^2+2^2+4^2+7^2+8^2+11^2+13^2+15^2=748=3^2+5^2+6^2+9^2+1^2+12^2+14^2+16^2.`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача ЕГЭ-2022. Вася и Петя играют в игру...
 Сообщение Добавлено: 22 май 2022, 10:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2027
Откуда: Ставрополь
а)

Подробности:
Да, Петя сможет выиграть. Например, Петя меняет местами числа ровно в одной паре `(7; 4).`
Тогда получаем:

`1^2+3^2+5^2+4^2+9^2+11^2=253=2^2+7^2+6^2+8^2+10^2.`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача ЕГЭ-2022. Вася и Петя играют в игру...
 Сообщение Добавлено: 22 май 2022, 13:36 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 май 2022, 05:04
Сообщений: 2
Спасибо за помощь! :ymhug:


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: