Зарегистрирован: 18 фев 2014, 05:07 Сообщений: 3189 Откуда: Томск
Задачка 18, аналитически, "по-взрослому".
Подробности:
Исходная система равносильна уравнению `(x-3)(4x+a-9)=|x-3|^3<=>[(x=3),({(x>3),(4x+a-9=(x-3)^2):}),({(x<3),(4x+a-9=-(x-3)^2):}):}<=>[(x=3),({(x>3),(x^2-10x+18-a=0quad(1)):}),({(x<3),(x^2-2x+a=0quad(2)):}):}` Чтобы исходная система имела 4 решения, необходимо и достаточно, чтобы: либо 1) - уравнение `(1)` имело одно решение, принадлежащее промежутку `x>3`, в то время как уравнение `(2)` имело два решения, принадлежащие промежутку `x<3`, либо 2) - уравнение `(1)` имело два решения, принадлежащие промежутку `x>3`, в то время как уравнение `(2)` имело одно решение, принадлежащее промежутку `x<3`. Рассмотрим функцию `f(x)=x^2-10x+18-a`. Уравнение `f(x)=0` имеет одно решение при `a=-7` и два решения при `a> -7`. Кроме того, один из корней уравнения всегда больше трёх (так как `x_B=5`), а второй больше трёх при выполнении условия `f(3)>0`, то есть при `a< -3`. Рассмотрим функцию `g(x)=x^2-2x+a`. Уравнение `g(x)=0` имеет одно решение при `a=1` и два решения при `a<1`. При этом один из корней уравнения всегда меньше трёх (так как `x_B=1`), а второй меньше трёх при выполнении условия `f(3)>0`, то есть при `a> -3`. Таким образом, при `-7<a< -3` уравнение `(1)` имеет два корня, а уравнение `(2)` имеет один корень, следовательно, исходная система имеет 4 решения. При `-3<a<1` уравнение `(1)` имеет один корень, а уравнение `(2)` - два корня, следовательно, исходная система также имеет 4 решения. Ответ: `(-7;-3);(-3;1)`.
_________________ Любовь правит миром (uStas и др.)
Зарегистрирован: 07 мар 2013, 19:13 Сообщений: 2892
olka-109 писал(а):
Задачка 18, аналитически, "по-взрослому".
Подробности:
Исходная система равносильна уравнению `(x-3)(4x+a-9)=|x-3|^3<=>[(x=3),({(x>3),(4x+a-9=(x-3)^2):}),({(x<3),(4x+a-9=-(x-3)^2):}):}<=>[(x=3),({(x>3),(x^2-10x+18-a=0quad(1)):}),({(x<3),(x^2-2x+a=0quad(2)):}):}` Чтобы исходная система имела 4 решения, необходимо и достаточно, чтобы: либо 1) - уравнение `(1)` имело одно решение, принадлежащее промежутку `x>3`, в то время как уравнение `(2)` имело два решения, принадлежащие промежутку `x<3`, либо 2) - уравнение `(1)` имело два решения, принадлежащие промежутку `x>3`, в то время как уравнение `(2)` имело одно решение, принадлежащее промежутку `x<3`. Рассмотрим функцию `f(x)=x^2-10x+18-a`. Уравнение `f(x)=0` имеет одно решение при `a=-7` и два решения при `a> -7`. Кроме того, один из корней уравнения всегда больше трёх (так как `x_B=5`), а второй больше трёх при выполнении условия `f(3)>0`, то есть при `a< -3`. Рассмотрим функцию `g(x)=x^2-2x+a`. Уравнение `g(x)=0` имеет одно решение при `a=1` и два решения при `a<1`. При этом один из корней уравнения всегда меньше трёх (так как `x_B=1`), а второй меньше трёх при выполнении условия `f(3)>0`, то есть при `a> -3`. Таким образом, при `-7<a< -3` уравнение `(1)` имеет два корня, а уравнение `(2)` имеет один корень, следовательно, исходная система имеет 4 решения. При `-3<a<1` уравнение `(1)` имеет один корень, а уравнение `(2)` - два корня, следовательно, исходная система также имеет 4 решения. Ответ: `(-7;-3);(-3;1)`.
Спасибо за решение, уважаемая Ольга Львовна
netka писал(а):
18 в плоскости `aOx`. (кратко, зато наглядно)))
Подробности:
некоторые результаты обучения в ЛМШ Спасибо, Галина Владимировна!
После раскрытия модуля в правой части первого уравнения системы и подстановки в него `y=x+a` получаем следующую совокупность, которую решим графически в плоскости `aOx`: `[(x=3),({(x>3),(a=x^2-10x+18):}),({(x<3),(a=-x^2+2x):}):} quad .`
рисунок сделан в программе Геогебра. Анимацию можно остановить (в левом нижнем углу есть кнопочка "пауза" и подвигать параметрическую прямую вручную). При каждом конкретном значении `a` количество решений исходной системы равно количеству точек пересечения параметрической прямой с зелёным графиком. Точки пересечения выделены красным цветом.
Вложение:
18-резерв.ggb
Спасибо за ГеоГебренную картинку, уважаемая Наталья Юрьевна
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения