№18 Есть числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B−1 или B + 2 и A−1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11. а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50? б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50
P.S. Наверное все сдавили базу по математике...

_________________
Цель ничто - движение все.

сборник вариантов основного потока

18.1

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 46 %.
А) Может ли в этом классе быть 9 девочек?
Б) Может ли доля девочек составить 55 %, если в этот класс придёт новая девочка?
В) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

18.2

Из пары натуральных чисел `(a;b)`, где `a>b`, за один ход получают пару `(a+b;a-b)`.
А) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50;9) пару, большее число в которой равно 200?
Б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50;9) пару (408;370)?
В) Какое наименьшее `a` может быть в паре `(a;b)`, из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370)?


18.3

На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня выбрал две из этих карточек, составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С. (Возможно то же самое, что и Петя)
А) Может ли быть верным равенство `A=B+C`, если `A>150`?
Б) Может ли быть верным равенство `A=B+C`, если числа `B` и `C` делятся на 9?
В) Найдите наименьшее число `A`, для которого может быть верным равенство `A=B+C`.

18.4

Из правильной несократимой дроби `a/b`, где `a` и `b` - натуральные числа, за один ход получают дробь `(a+b)/(2a+b)`.
А) Можно ли за несколько таких ходов из дроби `1/3` получить дробь `22/31`?
Б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь `7/12`?
В) Несократимая дробь `c/d` больше 0,7. Найдите наименьшую дробь `c/d`, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

18.5

Из пары натуральных чисел `(a;b)` за один ход можно получить пару `(a+2;b-1)` или `(a-1;b+2)` при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара `(4;5)`
А) Можно ли за 100 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 200?
Б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 300?
В) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 200?

17.1
Найдите все значения `a`, при каждом из которых система уравнений
`{((x^2-6x-y+2)*sqrt(x-y+2)=0),(y=4x+a):}`
имеет ровно два различных решения.

17.2
Найдите все значения `a`, при каждом из которых система уравнений
`{((x^2-6x-y+2)*sqrt(x-y+2)=0),(y=ax+a):}`
имеет ровно два различных решения.

17.3

Найдите все значения `a`, при каждом из которых система уравнений
`{((x^2+y^2+4x)*sqrt(2x+y+6)=0),(y=ax-2a):}`
имеет ровно два различных решения.


17.4

Найдите все значения `a`, при каждом из которых система уравнений
`{((|x+1|+|x-3|-y)*sqrt(10-x-y)=0),(y=x+a):}`
имеет ровно два различных решения.

17.5

Найдите все значения `a`, при каждом из которых система уравнений
`{((xy-2x+16)*sqrt(y-2x+16)=0),(y=ax-14):}`
имеет ровно два различных решения.

15.1

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом ‘предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну иту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1250 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

15.2

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на `r` % по сравнению с концом предыдущего года (`r` — целое число);
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2230 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2035 году?

15.3

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на `r` % по сравнению с концом предыдущего года (`r` — целое число);
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите `r`.

14.1
Решите неравенство: `log_(0,5)(x^3-3x^2-9x+27)<=log_(0,25)(x-3)^4`

14.2
Решите неравенство: `log_3^2(x-4)-log_3^2(x-6)<=0`

14.3
Решите неравенство: `(log_2x^2-log_3x^2)/(log_6^2(2x^2-10x+12,5)+1)>=0`

14.4
Решите неравенство: `(log_3(3-x)-log_3(x+2))/(log_3^2x^2+log_3x^4+1)>=0`

14.5
Решите неравенство: `(log_(0,25)^2(x+3)-log_4(x^2+6x+9)+1)*log_4(x+2)<=0`

14.6
Решите неравенство: `log_8(x^3-3x^2+3x-1)>=log_2(x^2-1)-5`

16.1

Прямая, перпендикулярная стороне ВС ромба ABCD, пересекает его диагональ АС в точке М, а диагональ BD в точке N, причем AM:MC=1:2, BN:ND=1:3.
А) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба ВС в отношении 1:4
Б) Найдите сторону ромба, если `MN=2sqrt(3)`

16.2

Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону АВ в отношении AN:NB=7:1
А) Докажите, что прямые ВМ и CN перпендикулярны
Б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна `4sqrt(55)`

16.3

Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке О. На боковых сторонах АВ и CD отмечены точки М и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO.
А) Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.
Б) Найдите отношение AM:MB, если АО=СО и BC:AD=1:7.

16.4

На стороне АС равностороннего треугольника АВС отмечена точка М. Серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно.
А) Докажите, что `/_AEM=/_CMK`
Б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если АМ:МС=1:4.

13.1

В основании прямой призмы `ABCDA_1B_1C_1D_1` лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=5 и BC=4. Точка М делит ребро `A_1D_1`в отношении `A_1M:MD_1=1:4`, а точка К - середина ребра `D_1D`.
А) Докажите, что плоскость МКС параллельна прямой BD.
Б) Найдите тангенс угла между плоскостью МКС и плоскостью основания призмы, если `/_MKC=90^0, /_ADC=60^0`

13.2

В правильной треугольной призме `ABCA_1B_1C_1` точка М является серединой ребра `BB_1`, а точка N - середина ребра `A_1C_1`. Плоскость `alpha` параллельная прямым `AM` и `B_1N`, проходит через середину отрезка MN.
А) Докажите, что плоскость `alpha` проходит через середину отрезка `B_1M`
Б) Найдите площадь сечения призмы `ABCA_1B_1C_1` плоскостью `alpha`, если все ребра призмы имеют длину 4.

13.3

В основании прямой призмы `ABCDA_1B_1C_1D_1` лежит параллелограмм `ABCD`. На ребрах `A_1B_1`, `B_1C_1` и `BC` отмечены точки `M, K` и `N` соответственно, причем `B_1K:KC_1=1:2`. Четырехугольник `AMKN` - равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
А) Докажите, что точка `N` -середина ребра `BC`
Б) Найдите площадь трапеции `AMKN`, если объем призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

13.4

В основании прямой призмы `ABCA_1B_1C_1` лежит равнобедренный треугольник `ABC` с основанием `AB`. Точка `P` делит ребро `AB` в отношении `AP:PB=1:3`, а точка `Q` - середина ребра `A_1C_1`. Через середину `M` ребра `BC` провели плоскость `alpha`, перпендикулярную отрезку `PQ`
А) Докажите, что плоскость `alpha` делит ребро `AC` пополам.
Б) Найдите отношение, в котором плоскость `alpha` делит ребро `A_1C_1`, считая от точки `A_1`, если известно, что `AB=A_1A,AB:BC=2:5`.

12.1

А) Решите уравнение `2sin^3x+sqrt(2)=sqrt(2)cos^2x`
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-4pi;-(5pi)/2]`

12.2

А) Решите уравнение `cosx*cos2x=sqrt(2)sin^2x+cosx`
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-(5pi)/2;-pi]`

12.3

А) Решите уравнение `2sin^2x*cosx+sqrt(2)cos^2x=sqrt(2)`
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-(7pi)/2;-2pi]`

12.4

А) Решите уравнение `2sin^3x=sqrt(3)cos^2x+2sinx`
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[2pi;(7pi)/2]`

В 16.2 получился вот такой ответ. Но, мне кажется, что площадь дана такая: `3sqrt(35)`. Тогда и ответ красивый будет (получилось бы 3).