Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 18 из 18 [ Сообщений: 179 ] На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 15 май 2020, 19:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 29 окт 2014, 22:13
Сообщений: 3112
А Денисарт2 кто это? (Я извиняюсь). Это не тот, который вырос здесь?
Ответ в "личку" допускается :-)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 16 май 2020, 00:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 май 2020, 15:35
Сообщений: 11
Problem 7, 8 решены верно. Problem 6 я просто буду дублировать как нерешенную, вдруг
у кого-то будет интерес к ней. Пока не было времени, но скоро я предложу еще задачки.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 16 май 2020, 00:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 май 2020, 15:35
Сообщений: 11
rgg писал(а):
А Денисарт2 кто это? (Я извиняюсь). Это не тот, который вырос здесь?
Ответ в "личку" допускается :-)


Это Денисарт 1) Просто у меня уже нет доступа к старому аккаунту. Так что я сделал новый)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 16 май 2020, 08:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 29 окт 2014, 22:13
Сообщений: 3112
denisart2 писал(а):
rgg писал(а):
А Денисарт2 кто это? (Я извиняюсь). Это не тот, который вырос здесь?
Ответ в "личку" допускается :-)


Это Денисарт 1) Просто у меня уже нет доступа к старому аккаунту. Так что я сделал новый)

Ну тогда, здравствуй! Рад встрече с тобой здесь. Радиф Галиевич.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 20 май 2020, 09:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2020, 17:30
Сообщений: 101
Вычислить


Вложения:
IMG_20200510_225639_878.JPG
IMG_20200510_225639_878.JPG [ 2.55 KIB | Просмотров: 1305 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 20 май 2020, 16:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 май 2020, 15:35
Сообщений: 11
В Problem 6 исправлена опечатка (спасибо Ischo_Tatiana).

Problem 6.
а) Доказать, что количество целых точек `S(r)` внутри фигуры, ограниченной эллипсом `x^2 - xy +y^2 = r`,
равно
`S(r) = 1 + 6 \lfloor r \rfloor - 6 \lfloor r / 2 \rfloor + 6 \lfloor r/4 \rfloor - 6 \lfloor r/5 \rfloor + 6 \lfloor r/7 \rfloor - \ldots`
б) Доказать, что количество целых точек `S(r)` внутри четырехмерного шара радиуса `\sqrt{r}`
с центром в начале координат равно
`(S(r) - 1) / 8 = \sum_{n \ge 1} n \lfloor r / n \rfloor - \sum_{n \ge 1} 8n \lfloor \frac{r}{8n} \rfloor`

Problem 9.

Пусть `x_1, x_2, \ldots` и `y_1, y_2, \ldots` последовательности положительных вещественных чисел
такие, что `x_1 = y_1 = 1` и `y_n = y_{n-1} x_n - 2` для `n=2,3,\ldots`
Предположим, что последовательность `(y_n)` ограничена. Доказать, что
`S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{x_1 \ldots x_n}`
сходится и вычислить `S`.

Problem 10.
На каждой грани правильного икосаэдра написано целое неотрицательное число так,
что сумма всех `20` чисел равна `39`. Докажите, что существуют две различные грани, которые имеют
общую вершину, и на которых написаны одинаковые числа. (Напомним, что правильный экосаэдр -- это
выпуклый многогранник, имеющий `12` вершин и `20` граней, а все грани есть одинаковые равносторонние
треугольники).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 20 май 2020, 16:37 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 май 2020, 15:35
Сообщений: 11
Параметр писал(а):
Вычислить


Заметить, что `\cos(x^6/64) = \text{Re} (e^{-i x^6 / 64})` и свести к Гамма-функции.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 20 май 2020, 22:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 янв 2015, 09:06
Сообщений: 1104
Откуда: Кемерово
denisart2 писал(а):
Problem 10.
На каждой грани правильного икосаэдра написано целое неотрицательное число так,
что сумма всех `20` чисел равна `39`. Докажите, что существуют две различные грани, которые имеют
общую вершину, и на которых написаны одинаковые числа. (Напомним, что правильный икосаэдр -- это
выпуклый многогранник, имеющий `12` вершин и `20` граней, а все грани есть одинаковые равносторонние
треугольники).
Предположим, что двух граней с общей вершиной и равными числами не найдется. Пронумеруем вершины от 1 до 12, и пусть суммы чисел на гранях, сходящихся в вершине c номером `k`, равны `S_k\ \(k=1,2,...,12)` (в каждой вершине сходятся 5 граней). Тогда `S_1+S_2+...+S_12=39*3=117`, так как числа на гранях считаются по 3 раза (с каждой из трех вершин). `117/12<10`. Следовательно, найдется `S_k<10`, что невозможно, так как сумма пяти различных неотрицательных целых чисел не меньше `0+1+2+3+4=10`.

P.S. Предыдущее решение было неверным, прошу прощения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи различного уровня
 Сообщение Добавлено: 21 май 2020, 21:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 янв 2015, 09:06
Сообщений: 1104
Откуда: Кемерово
denisart2 писал(а):
Problem 9.
Пусть `x_1, x_2, \ldots` и `y_1, y_2, \ldots` последовательности положительных вещественных чисел
такие, что `x_1 = y_1 = 1` и `y_n = y_{n-1} x_n - 2` для `n=2,3,\ldots`
Предположим, что последовательность `(y_n)` ограничена. Доказать, что
`S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{x_1 \ldots x_n}`
сходится и вычислить `S`.

Подробности:

P.S. В предыдущих решениях были неточности. Это исправленный вариант.


Вложения:
Problem 9.pdf [96.74 KIB]
Скачиваний: 98
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 18 из 18 [ Сообщений: 179 ] На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: