Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 24 апр 2021, 16:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 фев 2021, 18:13
Сообщений: 13
У квадратных трёхчленов `f(x), g(x) и h(x)` дискриминанты равны `-3a^2+2a+9`, а у квадратных трёхчленов `f(x)+g(x)`, `g(x)+h(x)` и `f(x)+h(x)` дискриминанты равны `2b^2-3b-1`. При каких неотрицательных значениях параметра `a` при любом значении параметра `b`, взятом из отрезка `[-1;2]`, уравнение `f(x)+g(x)+h(x)=0` имеет ровно 2 различных действительных корня?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 27 апр 2021, 11:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 фев 2021, 18:13
Сообщений: 13
Ответ?
Подробности:
`a>1/3+5sqrt(22)/12`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 28 апр 2021, 00:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1909
Interuo писал(а):
Ответ?
Подробности:
`a>1/3+5sqrt(22)/12`


Ответ верный. Вряд ли вы бы смогли его получить, не имея и верного решения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 29 апр 2021, 09:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1073
Откуда: Ставрополь
alex123 писал(а):
Interuo писал(а):
Ответ?
Подробности:
`a>1/3+5sqrt(22)/12`


Ответ верный. Вряд ли вы бы смогли его получить, не имея и верного решения.



Здравствуйте, alex123!
Если Вам не слишком сложно, можете показать, как решается эта задача?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 29 апр 2021, 18:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 фев 2021, 18:13
Сообщений: 13
Пусть соответственно у `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` коэффициенты
1) при `x^2`равны `p_1`, `p_2`, `p_3`,
2) при `x` равны `q_1`, `q_2`, `q_3`,
3) свободные члены равны `r_1`, `r_2`, `r_3`.
Тогда
1) `q_1^2-4p_1r_1=q_2^2-4p_2r_2=q_3^2-4p_3r_3=u`,
2) `(q_1+q_2)^2-4(p_1+p_2)(r_1+r_2)=(q_2+q_3)^2-4(p_2+p_3)(r_2+r_3)=(q_1+q_3)^2-4(p_1+p_3)(r_1+r_3)=v`.
Требуется найти `D=(q_1+q_2+q_3)^2-4(p_1+p_2+p_3)(r_1+r_2+r_3)`.
Заметим, что так как `q_1^2=4p_1r_1+u, q_2^2=4p_2r_2+u, q_3^2=4p_3r_3+u`, то `(q_1+q_2+q_3)^2-4(p_1+p_2+p_3)(r_1+r_2+r_3)=3u+2q_1q_2+2q_2q_3+2q_1q_3-4p_1(r_2+r_3)-4p_2(r_1+r_3)-4p_3(r_1+r_2)` и `(q_1+q_2)^2-4(p_1+p_2)(r_1+r_2)=2u+2q_1q_2-4p_1r_2-4p_2r_1=v`. Аналогично `2u+2q_2q_3-4p_2r_3-4p_3r_2=v` и `2u+2q_1q_3-4p_1r_3-4p_3r_1=v`. Складывая последние три равенства и вычитая из обеих частей полученного равенства `6u`, получаем `2q_1q_2+2q_2q_3+2q_1q_3-4p_1(r_2+r_3)-4p_2(r_1+r_3)-4p_3(r_1+r_2)=3v-6u`. Итак, `D=3(v-u)`.
Таким образом, ключевым является следующее утверждение: если у квадратных трёхчленов `f(x)`, `g(x)` и `h(x)` дискриминанты равны `u`, а у квадратных трёхчленов `f(x)+g(x)`, `g(x)+h(x)` и `f(x)+h(x)` дискриминанты равны `v` (`v` не равно `u`), то у квадратного трёхчлена `f(x)+g(x)+h(x)`дискриминант равен `3(v-u)`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 29 апр 2021, 18:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1073
Откуда: Ставрополь
Interuo писал(а):
Пусть соответственно у `f(x)`, `g(x)`, `h(x)` коэффициенты
1) при `x^2`равны `p_1`, `p_2`, `p_3`,
2) при `x` равны `q_1`, `q_2`, `q_3`,
3) свободные члены равны `r_1`, `r_2`, `r_3`.
Тогда
1) `q_1^2-4p_1r_1=q_2^2-4p_2r_2=q_3^2-4p_3r_3=u`,
2) `(q_1+q_2)^2-4(p_1+p_2)(r_1+r_2)=(q_2+q_3)^2-4(p_2+p_3)(r_2+r_3)=(q_1+q_3)^2-4(p_1+p_3)(r_1+r_3)=v`.
Требуется найти `D=(q_1+q_2+q_3)^2-4(p_1+p_2+p_3)(r_1+r_2+r_3)`.
Заметим, что так как `q_1^2=4p_1r_1+u, q_2^2=4p_2r_2+u, q_3^2=4p_3r_3+u`, то `(q_1+q_2+q_3)^2-4(p_1+p_2+p_3)(r_1+r_2+r_3)=3u+2q_1q_2+2q_2q_3+2q_1q_3-4p_1(r_2+r_3)-4p_2(r_1+r_3)-4p_3(r_1+r_2)` и `(q_1+q_2)^2-4(p_1+p_2)(r_1+r_2)=2u+2q_1q_2-4p_1r_2-4p_2r_1=v`. Аналогично `2u+2q_2q_3-4p_2r_3-4p_3r_2=v` и `2u+2q_1q_3-4p_1r_3-4p_3r_1=v`. Складывая последние три равенства и вычитая из обеих частей полученного равенства `6u`, получаем `2q_1q_2+2q_2q_3+2q_1q_3-4p_1(r_2+r_3)-4p_2(r_1+r_3)-4p_3(r_1+r_2)=3v-6u`. Итак, `D=3(v-u)`.
Таким образом, ключевым является следующее утверждение: если у квадратных трёхчленов `f(x)`, `g(x)` и `h(x)` дискриминанты равны `u`, а у квадратных трёхчленов `f(x)+g(x)`, `g(x)+h(x)` и `f(x)+h(x)` дискриминанты равны `v` (`v` не равно `u`), то у квадратного трёхчлена `f(x)+g(x)+h(x)`дискриминант равен `3(v-u)`.


Спасибо большое, Interuo!
Буду разбираться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 04 май 2021, 19:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 фев 2021, 18:13
Сообщений: 13
При каких значениях параметра `a` неравенство `(|x^2-a|-|x^2+2a|)/(|x^2-3a|-|x^2+4a|)<1` не выполняется ни при одном значении `x` из интервала `(1;3)`?


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: