Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу Пред.  1, 2



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2021, 20:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1485
Откуда: Москва
hpbhpb писал(а):
Замучили Вас школьники, Кирилл Юрьевич!
Это обложка от той брошюры, в которой решение, которое представлено выше OlG.

Действительно, спасибо Алексей Владимирович!
И спасибо за Ваше решение, буду сейчас изучать!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2021, 22:51 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1485
Откуда: Москва
hpbhpb писал(а):
Одно из возможных решений.

Подробности:

Алексей Владимирович, OlG, можете подсказать, где я не прав?
Я рассуждал так.

Первое уравнение своими решениями имеет серии $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$ и $\frac{4\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.
При $n\ge1$ эти серии дают положительные корни, что не удовлетворяет условию задачи.
При $n=0$ наибольший положительный корень $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n=-1$ наибольший положительный корень $-\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n\le2$ получаем еще меньшие корни.

Второе уравнение дает серии $\pm\frac12\arccos\frac{a}2+\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.
При $k\le-1$ корни отрицательные, что не удовлетворяет.
При $k=0$ наименьший положительный корень $\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k=1$ это $\pi-\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k>1$ получаем большие корни.

Таким образом, необходимо решить неравенство
$$\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right\}\right|\le \min\left\{\frac12\arccos\frac{a}2; \pi-\frac12\arccos\frac{a}2\right\}.$$
Или я уже на этом шаге ошибаюсь?
Но поскольку $\max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}2$, $\min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}2$, то неравенство выше можно переписать в виде
$$\left|\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right|\le\frac12\arccos\frac{a}2.$$
Но оно приводит к другому ответу...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2021, 23:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1175
Откуда: Ставрополь
Kirill Kolokolcev писал(а):
hpbhpb писал(а):
Одно из возможных решений.

Подробности:

Алексей Владимирович, OlG, можете подсказать, где я не прав?
Я рассуждал так.

Первое уравнение своими решениями имеет серии $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$ и $\frac{4\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.
При $n\ge1$ эти серии дают положительные корни, что не удовлетворяет условию задачи.
При $n=0$ наибольший положительный корень $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n=-1$ наибольший положительный корень $-\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n\le2$ получаем еще меньшие корни.

Второе уравнение дает серии $\pm\frac12\arccos\frac{a}2+\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.
При $k\le-1$ корни отрицательные, что не удовлетворяет.
При $k=0$ наименьший положительный корень $\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k=1$ это $\pi-\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k>1$ получаем большие корни.

Таким образом, необходимо решить неравенство
$$\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right\}\right|\le \min\left\{\frac12\arccos\frac{a}2; \pi-\frac12\arccos\frac{a}2\right\}.$$
Или я уже на этом шаге ошибаюсь?
Но поскольку $\max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}2$, $\min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}2$, то неравенство выше можно переписать в виде
$$\left|\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right|\le\frac12\arccos\frac{a}2.$$
Но оно приводит к другому ответу...


Хорошо, Кирилл Юрьевич, давайте рассуждать вместе.
Например, при `a=1`:
по Вашей формуле получается:
$$ \left|x_1\right|=\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right\}\right|=\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}\right\}\right|=\left|\frac{\pi}3+\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}\right|=\frac{\pi}3+\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}.$$
Как должно быть:
`x_1=-(2 pi)/(3)-arcsin ((1)/(2 sqrt(3))).`
`|x_1|=(2 pi)/(3)+arcsin ((1)/(2 sqrt(3))).`

Как видите, результаты разные. Примерно то же самое и на других промежутках.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2021, 00:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1485
Откуда: Москва
hpbhpb писал(а):
Хорошо, Кирилл Юрьевич, давайте рассуждать вместе.
Например, при `a=1`:
по Вашей формуле получается:
$$ \left|x_1\right|=\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right\}\right|=\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}\right\}\right|=\left|\frac{\pi}3+\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}\right|=\frac{\pi}3+\arcsin\frac{1}{2\sqrt3}.$$
Как должно быть:
`x_1=-(2 pi)/(3)-arcsin ((1)/(2 sqrt(3))).`
`|x_1|=(2 pi)/(3)+arcsin ((1)/(2 sqrt(3))).`

Как видите, результаты разные. Примерно то же самое и на других промежутках.


Да, но в чем ошибка..?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2021, 08:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6371
Откуда: Москва
Kirill Kolokolcev писал(а):
Алексей Владимирович, OlG, можете подсказать, где я не прав?
Подробности:
Я рассуждал так.

Первое уравнение своими решениями имеет серии $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$ и $\frac{4\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.
При $n\ge1$ эти серии дают положительные корни, что не удовлетворяет условию задачи.
При $n=0$ наибольший положительный корень $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n=-1$ наибольший положительный корень $-\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n\le2$ получаем еще меньшие корни.

Второе уравнение дает серии $\pm\frac12\arccos\frac{a}2+\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.
При $k\le-1$ корни отрицательные, что не удовлетворяет.
При $k=0$ наименьший положительный корень $\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k=1$ это $\pi-\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k>1$ получаем большие корни.

Таким образом, необходимо решить неравенство
$$\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right\}\right|\le \min\left\{\frac12\arccos\frac{a}2; \pi-\frac12\arccos\frac{a}2\right\}.$$
Или я уже на этом шаге ошибаюсь?
Но поскольку $\max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}2$, $\min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}2$, то неравенство выше можно переписать в виде
$$\left|\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right|\le\frac12\arccos\frac{a}2.$$
Но оно приводит к другому ответу...

Kirill Kolokolcev писал(а):
Да, но в чем ошибка..?

При `(1-2sqrt(3))/(2) le a lt -1` наибольший отрицательный корень первого уравнения $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При `-1 le a le 2` наибольший отрицательный корень первого уравнения $-\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При `(1-2sqrt(3))/(2) le a lt 2` наименьший положительный корень второго уравнения $\frac{1}2\arccos\frac{a}2$.
При ` a = 2` наименьший положительный корень второго уравнения `pi`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2021, 16:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6371
Откуда: Москва
Неравенства `|x_(1)(a)| le x_(2)(a)` несложно решаются с помощью метода мажорант

или через убывание-возрастание соответствующих функций.
Подробности:
Вложение:
Графики.pdf [45.36 KIB]
Скачиваний: 424

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 06 сен 2021, 16:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 13 янв 2019, 09:04
Сообщений: 417
Здравствуйте! С Новым учебным годом!
Попробовал дополнить "родное" решение необходимыми иллюстрациями.
Подробности:

Вложение:
Задача Мехмат.pdf [296.01 KIB]
Скачиваний: 303


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с мехмата 1995 года
 Сообщение Добавлено: 06 сен 2021, 19:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1485
Откуда: Москва
SergeiB писал(а):
Здравствуйте! С Новым учебным годом!
Попробовал дополнить "родное" решение необходимыми иллюстрациями.
Подробности:

Вложение:
Задача Мехмат.pdf

Сергей Вениаминович, спасибо за пояснение и дополнение к решению!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу Пред.  1, 2





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: