Спасибо ,Михаил Николаевич.. Пока не могу разобраться в Вашем решении.
Постепенно ...С определения

Это не нужно , просто заменяем систему на равносильную : ` {(x^2 +y^2 = a^2) ,(xy=a^2-3a) :} <=> {(x^2 +y^2 = a^2) ,((x+y)^2 = 3a^2 -6a):}` График второго уравнения - пара симметричных относительно нуля прямых , а так как окружность также симметрична относительно нуля , то касаются они окружности и пересекают её одновременно , на картинках 3 случая , два из них дают ответ

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Я тоже сначала не понял, о чем говорит Михаил Николаевич потому, что ваш вопрос был о том, как доказать, что точки касания находятся на биссектрисах, и я рассматривал идею Михаила Николаевича с этой точки зрения. А потом он нарисовал графики, на которых изобразил и окружность, и гиперболу, поэтому я опять рассматривал его идею с точки зрения их точек касания.
Но когда я понял, что Михаил Николаевич просто предлагает другой метод решения, позволяющий заменить уравнение гиперболы на два уравнения параллельных прямых, то всё встало на свои места. С точки зрения его идеи про гиперболу не надо ни говорить, ни рисовать её. Она заменяется на прямые, и дальше мы работаем с ними, т.е. вопрос про точки касания окружности и гиперболы отпадает сам собой. А вопрос про точки касания прямых и окружности решается гораздо легче.
Михаил Николаевич, спасибо за красивую идею!
Извините, если влез туда, куда меня не просили, но раз уж я в беседе, то разрешите задать вопрос.
Михаил Николаевич, с помощью какой программы вы строите свои графики?

Здравствуйте , Сергей Вениаминович . Это GeoGebra

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Большое спасибо, Михаил Николаевич! Всё никак не доберусь до этой программы, поскольку свободного времени мало, а по работе она мне не нужна.

Остроумное решение..Однако,нет никаких сомнений в равносильности ? Всё-таки параметры ..
Когда-то встречал нелинейную систему ,когда такое преобразование привело к следствию..Хотя ,вроде алгебраическое сложение частей должно всегда приводить к равносильности...Где бы найти ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого факта ?

Доказательство равносильности систем :

Пусть `(x_0 ; y_0) ` - решение системы ` {(x^2 +y^2 = a^2) ,(xy=a^2-3a) :} ` (1) : ` {(x_0^2 +y_0^2 = a^2) ,(x_0y_0=a^2-3a) :} ` ; складывая первое уравнение со вторым , умноженным на 2 , получим : ` {(x_0^2 +y_0^2 = a^2) ,((x_0+y_0)^2=3a^2-6a) :} ` `=> (x_0 ; y_0) `- решение системы ` {(x^2 +y^2 = a^2) ,((x+y)^2=3a^2-6a) :} `(2) ; обратно , пусть `(x_0 ; y_0) ` - решение системы (2) : ` {(x_0^2 +y_0^2 = a^2) ,((x_0+y_0)^2=3a^2-6a) :} `, вычитая из второго уравнения первое и деля полученное уравнение на 2 , получим : ` {(x_0^2 +y_0^2 = a^2) ,(x_0y_0=a^2-3a) :} => (x_0 ; y_0)` - решение системы (1)`=> ` системы (1) и (2) - равносильны

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Спасибо !

ЗАДАЧА


Задачу решил ,но не удовлетворен одним пунктом..
1) неравенство раскрывается коридором ,между стенками--- графиками 2-ух линейных функций,включая стенки ( см рисунок)
2) решение может быть или внутри коридора или на границе
3)уравнение (1) ---уравнение окружности в точках 3a и -a радиуса sqrt(3a+4)
4) уравнение центров семейства окружностей -1/3 X
5)при а =-4/3 окружность выродится в точку и такое а подходит т к попадает в пределы коридора
6)а>-4/3
Единственное решение будет ,если окружность будет касаться одной из прямых с внешней стороны
Подставим у =3х+14 в уравнение окружности ,получим квадр уравнение ,в котором потребуем ,чтобы дискриминант =0..
Пропуская промежуточные выкладки,получаем a=−6/5 и a=−13/10
Центры окружностей получают координаты (−18/5;6/5) и (−39/10;13/10)
ВОПРОС Уже на графике видно ,что 1-ая точка О( см рисунок) попадает внутрь коридора и не подходит.. Однако ,возник спор с одним автором ,который утверждает ,что эта точка принадлежит прямой y=3x+12, то есть лежит внутри коридора, и нам этот случай не подходит.. Я согласен ,что не подходит из графических соображений ,НО ПОЧЕМУ ОНА ЛЕЖИТ НА ЭТОЙ ПРЯМОЙ ? ПОЧЕМУ ПРЯМАЯ,НА КОТОРОЙ ЛЕЖИТ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ , ДОЛЖНА БЫТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНА БОКОВЫМ СТЕНКАМ ?

Точка (−18/5;6/5) действительно принадлежит прямой y=3x+12, потому что её координаты превращают уравнение прямой в верное равенство.

Не должна. Но через любую точку внутри полосы МОЖНО провести прямую параллельную ее "боковым стенкам", т.е. такая прямая всегда найдётся