Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция f(x)^g(x) и связанные с ней уравнения
 Сообщение Добавлено: 23 июл 2023, 18:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 июл 2012, 17:18
Сообщений: 30
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Будьте добры, проясните ситуацию, пожалуйста.
Насколько мне известно, в рамках школьной математики принято считать, что у функция $y=f(x)^g(x)$ определена только при строго положительных значениях основания степени.
Следовательно, когда мы решаем уравнение вида $f(x)^g(x)=f(x)^h(x)$, то рассматриваем случай, когда $f(x)>0$ и степени равны, а также случай, когда $f(x)=1$ при существовании степеней.
Собственно, так написано у Сканави и много где ещё...
И вот в книге А.Х. Шахмейстера "Логарифмы" я вижу это (представлено на фото).
По его мнению, основание может равняться 0.

И вот мне интересно. Вообще говоря, как правильно? Как решать подобное задание на вступительном экзамене или олимпиаде.
Благодарю!


Вложения:
20230723_171927.jpg
20230723_171927.jpg [ 402.41 KIB | Просмотров: 2674 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Функция f(x)^g(x) и связанные с ней уравнения
 Сообщение Добавлено: 23 июл 2023, 21:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2134
Откуда: Ставрополь
Подробности:
Бутерброд писал(а):
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Будьте добры, проясните ситуацию, пожалуйста.
Насколько мне известно, в рамках школьной математики принято считать, что у функция $y=f(x)^g(x)$ определена только при строго положительных значениях основания степени.
Следовательно, когда мы решаем уравнение вида $f(x)^g(x)=f(x)^h(x)$, то рассматриваем случай, когда $f(x)>0$ и степени равны, а также случай, когда $f(x)=1$ при существовании степеней.
Собственно, так написано у Сканави и много где ещё...
И вот в книге А.Х. Шахмейстера "Логарифмы" я вижу это (представлено на фото).
По его мнению, основание может равняться 0.

И вот мне интересно. Вообще говоря, как правильно? Как решать подобное задание на вступительном экзамене или олимпиаде.
Благодарю!

Правильно решать так.

1). Рассмотрим решение исходного уравнения на множестве целых чисел. Область определения уравнения `x \in (-infty,quad + infty)`.
Уравнение имеет решения `x in {-2,quad-1, quad 0, quad 2}.`
2) Рассмотрим решение исходного уравнения на множестве действительных нецелых чисел. Область определения уравнения `x \in (-1, + infty)`.
Уравнение имеет решения `x in {0, quad 2}.`
3) Объединяя решения в обоих пунктах, получим `x in {-2,quad-1quad 0, quad 2}.`

Ответ: `{-2,quad-1quad 0, quad 2}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Функция f(x)^g(x) и связанные с ней уравнения
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2023, 10:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 июл 2012, 17:18
Сообщений: 30
hpbhpb, благодарю за ответ. То есть, Вы считаете, что число -1, при котором основание обращается в 0, является решением?
Тогда у меня вопрос.
Откуда школьнику, который готовится к вступительным испытаниям, это узнать? И ещё один вопрос. А как будут оценивать правильность решения?
Если во всех пособиях сказано чёрным по белому, что основание степени при решении уравнений вида $f(x)^g(x)=f(x)^h(x)$ не может быть равно 0. В классическом Сканави так написано. В пособиях по решению показательных уравнений так написано. Например, Софья Колесникова в пособии для подготовки к ЕГЭ от МФТИ (2010 год) пишет, что не понимает, как вообще можно рассматривать основание степени равным или меньше нуля и решает такие уравнения только с ограничением на основание строго больше нуля. Это один пример из десятков.
Я, без преувеличения сказать, не видел ни одного примера в серьезных печатных изданиях, где бы допускался 0 в основании у подобных уравнений. 0 везде исключается. Единственный раз я увидел это в представленной выше книге без каких-либо объяснений, просто решение.

Просто что в этой ситуации делать школьнику?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Функция f(x)^g(x) и связанные с ней уравнения
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2023, 10:55 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 июл 2012, 17:18
Сообщений: 30
Если кто-то помнит или у кого-то есть подобное уравнение со вступительных экзаменов или олимпиады с оригинальным (авторским) решением, я бы очень просил, по возможности, поделиться. Мне очень интересно посмотреть, если подобные уравнения встречались, какое решение закладывают авторы этих задач.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Функция f(x)^g(x) и связанные с ней уравнения
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2023, 11:01 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2134
Откуда: Ставрополь
Бутерброд писал(а):
hpbhpb, благодарю за ответ. То есть, Вы считаете, что число -1, при котором основание обращается в 0, является решением?
Тогда у меня вопрос.
Откуда школьнику, который готовится к вступительным испытаниям, это узнать? И ещё один вопрос. А как будут оценивать правильность решения?
Если во всех пособиях сказано чёрным по белому, что основание степени при решении уравнений вида $f(x)^g(x)=f(x)^h(x)$ не может быть равно 0. В классическом Сканави так написано. В пособиях по решению показательных уравнений так написано. Например, Софья Колесникова в пособии для подготовки к ЕГЭ от МФТИ (2010 год) пишет, что не понимает, как вообще можно рассматривать основание степени равным или меньше нуля и решает такие уравнения только с ограничением на основание строго больше нуля. Это один пример из десятков.
Я, без преувеличения сказать, не видел ни одного примера в серьезных печатных изданиях, где бы допускался 0 в основании у подобных уравнений. 0 везде исключается. Единственный раз я увидел это в представленной выше книге без каких-либо объяснений, просто решение.

Просто что в этой ситуации делать школьнику?


Я не знаю, что делать школьнику. Как будут оценивать - я тоже не знаю.
Также я не знаю, как написано в книгах.
Я просто написал правильное (как я считаю) решение.
Вольфрам со мной согласен. Как в отношении корней уравнения, так и в отношении области определения уравнения.
На других форумах тоже посмотрел. Там тоже примерно такое же решение, как я написал.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Функция f(x)^g(x) и связанные с ней уравнения
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2023, 11:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 июл 2012, 17:18
Сообщений: 30
hpbhpb писал(а):
Я просто написал правильное (как я считаю) решение.

Благодарю!

В школьной математике существуют вынужденные "ограничения", но порой оказывается, что у различных авторов понимание этих "ограничений" разное. Отсюда определённые проблемы...


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: