Дорогие форумчане, помогите . На днях столкнулся со следующей задачей.
Пункты а) и б) не вызвали затруднений, а вот пункт в) загнал в тупик и к колоссальным выкладкам.
Помогите дойти до простого и лаконичного решения.

Конечная последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$ состоит из $n\ge3$ не обязательно различных натуральных чисел,
причем при всех натуральных $k\le n-2$ выполнено равенство $a_{k+2}=2a_{k+1}-a_k+1$.
а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$, в которой $a_5=1$.
б) Может ли в такой последовательности оказаться так, что $a_9=a_{27}$?
в) При каком наибольшем $n$ такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих $150$?

Ответ в книге такой

Посмотрите на первую разность этой последовательности, `{a_(n+1)-a_n}`.
Она имеет простой вид `{b_1, b_1+1, b_1+2, b_1+3,.....}`

Теперь понятно, что последовательность должна быть немонотонной - сначала убывать, потом возрастать. Причем смена монотонности должна быть примерно посередине.

Ну а дальше 1+2+3+....<=150 --> n<=17. А нас устраивает вдвое больше - мы этот путь туда сюда дважды пройти можем.

Все это идея, записывать нужно аккуратней.

На всякий случай: `a_n=a+bn+n(n+1)/2`.

Я так и рассуждал, вот как бы аккуратнее записать..и почему вот например будет именно 34, а не 33 скажем?

1.

а) `a_(k)=(k^2)/2-(a_(1)+3/2-a_(2))k+2a_(1)-a_(2)+1.`

б) `a_1=150.`

в) `k_(max)=153,5-a_(2).`

г) `a_(k_(max)) ge 1 quad => quad (301-2sqrt(298))/2 le a_(2) le (301+2sqrt(298))/2.`

д) `a_(2)=134, quad k_(max)=17,5, quad 2k_(max)-1=34`.

_________________
Никуда не тороплюсь!

Уважаемый OlG, я тоже пытался через общую формулу, но почему мы берем `a_1=150`?

2. `k_(max)=a_(1)+3/2-a_(2), quad` тем больше, чем больше `a_(1)` и меньше `a_(2)` .

_________________
Никуда не тороплюсь!

А такое рассуждение зачли бы? И достаточно ли ограничиться только этим или еще нужен сам пример последовательности?

Заметим, что последовательность сначала убывает, а после, начиная с некоторого номера, возможно возрастает. Поэтому, чтобы последовательность состояла из наибольшего числа членов, необходимо, что $a_1=150$. Далее найдем, сколько членов может содержать убывающая часть этой последовательности:
$$150-1, 150-1-2, \ldots, 150-1-2-\ldots-n=150-\frac{n(n+1)}2.$$ Для этого наименьший член последовательности должен быть не меньше 1, т. е. $n(n+1)\le298$, откуда $n\le16$. Таким образом, убывающая часть последовательности содержит не более 17 членов. Аналогично, возрастающая часть содержит не более 17. Следовательно, наибольшее число членов данной последовательности равно 34.

3. Вывод формулы общего члена последовательности:

`a_(k)-a_(1)=sum_(i=1)^(k-1) (a_(i+1)-a_(i))=sum_(i=1)^(k-1) b_(i)=(2b_1+1*(k-2))/2*(k-1)=((k-2)(k-1))/2+(a_(2)-a_(1))(k-1)=(k^2)/2-(a_(1)+3/2-a_(2))k+a_(1)-a_(2)+1.`

_________________
Никуда не тороплюсь!

4.

а) Зачтут.

б) Последовательность в ходе решения практически выводится.
Можно и фактически привести - хуже не будет.

_________________
Никуда не тороплюсь!

OlG и alex123, спасибо вам большое!