Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Логарифмическое неравенство с корнем
 Сообщение Добавлено: 06 фев 2021, 18:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 19 ноя 2020, 19:52
Сообщений: 18
Решить `log_x(3x)<=\sqrt(log_x(3x^7))`.

Мое решение с каждым разом меняеться и всё больше отдаляеться от того, что даёт https://www.wolframalpha.com/input/?i=log_x%283x%29%3C%3Dsqrt%28log_x%283x%5E7%29%29.

Я попробую порассуждать, а вы, пожалуйста, исправьте меня, где будет неправда :)

1. "Основа основ – ОДЗ". `1 != x > 0, log_x(3x^7) >= 0`:
Немного упростим себе жизнь: `log_x(3x^7)=log_x(3)+7=\frac{1+7t}{t}`, где `t=log_3(x)`.
Теперь решим `\frac{1+7t}{t}>=0`:
Найдем знакочередующиеся интервалы, просто решив уравнение `\frac{1+7t}{t}=0`. Очевидно, что `0!=t=-1/7 \Leftrightarrow 1!=x=3^(-1/7)=\frac{1}{\root[7](3)}`. Проверим знаки на каждом из и получаем следующее: `\forall x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty) log_x(3x^7)>=0` (сразу учтём `1!=x>0).
Итого наше ОДЗ таково: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty)`

2. Преобразуем немного исходное нер-во: `\frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`.

3. Ну и куде же без головы. Бросаться решать в тупую, imho, глупая идея. Можно заметить, что правая часть всегда неотрицательна. Итого, на интервале, когда левая неположительна это неравенство верно (`\frac{1}{t}<=0<=\sqrt(\frac{7t+1}{t}) \Rightarrow \frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`):
Решим `\frac{1}{t}<=0 \Leftrightarrow \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Найдём "нули" левой части: `0<x!=1` и посмотрим знаки на отрезках: `\forall x \in (0; 1) \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Применим ОДЗ: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}]`

4. Пол дела уже сделано. Теперь случай, когда `\frac{1}{log_3(x)}>0`:
`\forall x \in (1; +\infty) \frac{1}{log_3(x)}>0`. Применим ОДЗ и ничего не измениться :D
Когда обе части больше нуля (или равны) можно возвести обе в квадрат и равенство останеться верным! Получим:
`\frac{-7t^2-t+1}{t^2}=\frac{-7(t-\frac{-1-\sqrt(29)}{14})(t+\frac{-1+\sqrt(29)}{14})}{t^2}<=0` Нули: `0!=t\in{\frac{-1-\sqrt(29)}{14}; \frac{-1+\sqrt(29)}{14}}` и "решение": `t \in (-\infty; \frac{-1-sqrt(29)}{14}] \cup [\frac{-1+sqrt(29)}{14}; +\infty)`. Немного изменим наше "решение" и получим уже решение: `x \in (-\infty; 3^(\frac{-1-sqrt(29)}{14})] \cup [3^(\frac{-1+sqrt(29)}{14}); +\infty)`. А теперь ещё и накинем сверху ОДЗ: `x \in [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`.

5. "Глава V. Совмещение. Делаем выводы". `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`. У меня молучился какой-то отрубленый на половину монстр. Потому что, если верить Вольфраму, только первая часть моего решения верна. Пожалуйста, укажите на мою ошибику! :-bd

P.S. Если будут какие-то глупые ошибки не бейте сильно O:-)

UPD: PP.S. Буду рад любым комментариям. А в оссобености советам, как решать такие задачи быстее. Может быть тут был более легкий способ решения. В действительности, моё решение отняло у меня очень много сил.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Логарифмическое неравенство с корнем
 Сообщение Добавлено: 06 фев 2021, 21:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6473
Откуда: Москва
Подробности:
vim0 писал(а):
Решить `log_x(3x)<=\sqrt(log_x(3x^7))`.

Мое решение с каждым разом меняеться и всё больше отдаляеться от того, что даёт https://www.wolframalpha.com/input/?i=log_x%283x%29%3C%3Dsqrt%28log_x%283x%5E7%29%29.

Я попробую порассуждать, а вы, пожалуйста, исправьте меня, где будет неправда :)

1. "Основа основ – ОДЗ". `1 != x > 0, log_x(3x^7) >= 0`:
Немного упростим себе жизнь: `log_x(3x^7)=log_x(3)+7=\frac{1+7t}{t}`, где `t=log_3(x)`.
Теперь решим `\frac{1+7t}{t}>=0`:
Найдем знакочередующиеся интервалы, просто решив уравнение `\frac{1+7t}{t}=0`. Очевидно, что `0!=t=-1/7 \Leftrightarrow 1!=x=3^(-1/7)=\frac{1}{\root[7](3)}`. Проверим знаки на каждом из и получаем следующее: `\forall x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty) log_x(3x^7)>=0` (сразу учтём `1!=x>0).
Итого наше ОДЗ таково: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty)`

2. Преобразуем немного исходное нер-во: `\frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`.

3. Ну и куде же без головы. Бросаться решать в тупую, imho, глупая идея. Можно заметить, что правая часть всегда неотрицательна. Итого, на интервале, когда левая неположительна это неравенство верно (`\frac{1}{t}<=0<=\sqrt(\frac{7t+1}{t}) \Rightarrow \frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`):
Решим `\frac{1}{t}<=0 \Leftrightarrow \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Найдём "нули" левой части: `0<x!=1` и посмотрим знаки на отрезках: `\forall x \in (0; 1) \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Применим ОДЗ: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}]`

4. Пол дела уже сделано. Теперь случай, когда `\frac{1}{log_3(x)}>0`:
`\forall x \in (1; +\infty) \frac{1}{log_3(x)}>0`. Применим ОДЗ и ничего не измениться :D
Когда обе части больше нуля (или равны) можно возвести обе в квадрат и равенство останеться верным! Получим:
`\frac{-7t^2-t+1}{t^2}=\frac{-7(t-\frac{-1-\sqrt(29)}{14})(t+\frac{-1+\sqrt(29)}{14})}{t^2}<=0` Нули: `0!=t\in{\frac{-1-\sqrt(29)}{14}; \frac{-1+\sqrt(29)}{14}}` и "решение": `t \in (-\infty; \frac{-1-sqrt(29)}{14}] \cup [\frac{-1+sqrt(29)}{14}; +\infty)`. Немного изменим наше "решение" и получим уже решение: `x \in (-\infty; 3^(\frac{-1-sqrt(29)}{14})] \cup [3^(\frac{-1+sqrt(29)}{14}); +\infty)`. А теперь ещё и накинем сверху ОДЗ: `x \in [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`.

5. "Глава V. Совмещение. Делаем выводы". `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`. У меня молучился какой-то отрубленый на половину монстр. Потому что, если верить Вольфраму, только первая часть моего решения верна. Пожалуйста, укажите на мою ошибику! :-bd

P.S. Если будут какие-то глупые ошибки не бейте сильно O:-)

UPD: PP.S. Буду рад любым комментариям. А в оссобености советам, как решать такие задачи быстее. Может быть тут был более легкий способ решения. В действительности, моё решение отняло у меня очень много сил.


1. `quad t=sqrt(log_(x)(3x^7))`.

2. `quad {(t^2-6 le t), (t ge 0):} quad , quad 0 le t le 3 quad, quad {((t^2-9)t^2 le 0), (t ge 0):} quad `.

3. `quad (log_(x)3-2)(log_(x)3+7) le 0 quad , quad ((log_(3)x-1/2)(log_(3)x-(-1/7)))/(log_(3)x -0)^2 le 0 quad , quad {(((x-sqrt(3))(x-(root(7)(729))/3))/(x -1)^2 le 0), (x gt 0):} quad , quad [(x ge sqrt(3)),(0 lt x le (root(7)(729))/3 ):} quad`.

4. В пункте 2. Вашего решения в левой части неравенства пропушено `+1`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Логарифмическое неравенство с корнем
 Сообщение Добавлено: 07 фев 2021, 10:38 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 19 ноя 2020, 19:52
Сообщений: 18
OlG писал(а):
Подробности:
vim0 писал(а):
Решить `log_x(3x)<=\sqrt(log_x(3x^7))`.

Мое решение с каждым разом меняеться и всё больше отдаляеться от того, что даёт https://www.wolframalpha.com/input/?i=log_x%283x%29%3C%3Dsqrt%28log_x%283x%5E7%29%29.

Я попробую порассуждать, а вы, пожалуйста, исправьте меня, где будет неправда :)

1. "Основа основ – ОДЗ". `1 != x > 0, log_x(3x^7) >= 0`:
Немного упростим себе жизнь: `log_x(3x^7)=log_x(3)+7=\frac{1+7t}{t}`, где `t=log_3(x)`.
Теперь решим `\frac{1+7t}{t}>=0`:
Найдем знакочередующиеся интервалы, просто решив уравнение `\frac{1+7t}{t}=0`. Очевидно, что `0!=t=-1/7 \Leftrightarrow 1!=x=3^(-1/7)=\frac{1}{\root[7](3)}`. Проверим знаки на каждом из и получаем следующее: `\forall x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty) log_x(3x^7)>=0` (сразу учтём `1!=x>0).
Итого наше ОДЗ таково: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty)`

2. Преобразуем немного исходное нер-во: `\frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`.

3. Ну и куде же без головы. Бросаться решать в тупую, imho, глупая идея. Можно заметить, что правая часть всегда неотрицательна. Итого, на интервале, когда левая неположительна это неравенство верно (`\frac{1}{t}<=0<=\sqrt(\frac{7t+1}{t}) \Rightarrow \frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`):
Решим `\frac{1}{t}<=0 \Leftrightarrow \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Найдём "нули" левой части: `0<x!=1` и посмотрим знаки на отрезках: `\forall x \in (0; 1) \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Применим ОДЗ: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}]`

4. Пол дела уже сделано. Теперь случай, когда `\frac{1}{log_3(x)}>0`:
`\forall x \in (1; +\infty) \frac{1}{log_3(x)}>0`. Применим ОДЗ и ничего не измениться :D
Когда обе части больше нуля (или равны) можно возвести обе в квадрат и равенство останеться верным! Получим:
`\frac{-7t^2-t+1}{t^2}=\frac{-7(t-\frac{-1-\sqrt(29)}{14})(t+\frac{-1+\sqrt(29)}{14})}{t^2}<=0` Нули: `0!=t\in{\frac{-1-\sqrt(29)}{14}; \frac{-1+\sqrt(29)}{14}}` и "решение": `t \in (-\infty; \frac{-1-sqrt(29)}{14}] \cup [\frac{-1+sqrt(29)}{14}; +\infty)`. Немного изменим наше "решение" и получим уже решение: `x \in (-\infty; 3^(\frac{-1-sqrt(29)}{14})] \cup [3^(\frac{-1+sqrt(29)}{14}); +\infty)`. А теперь ещё и накинем сверху ОДЗ: `x \in [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`.

5. "Глава V. Совмещение. Делаем выводы". `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`. У меня молучился какой-то отрубленый на половину монстр. Потому что, если верить Вольфраму, только первая часть моего решения верна. Пожалуйста, укажите на мою ошибику! :-bd

P.S. Если будут какие-то глупые ошибки не бейте сильно O:-)

UPD: PP.S. Буду рад любым комментариям. А в оссобености советам, как решать такие задачи быстее. Может быть тут был более легкий способ решения. В действительности, моё решение отняло у меня очень много сил.


1. `quad t=sqrt(log_(x)(3x^7))`.

2. `quad {(t^2-6 le t), (t ge 0):} quad , quad 0 le t le 3 quad, quad {((t^2-9)t^2 le 0), (t ge 0):} quad `.

3. `quad (log_(x)3-2)(log_(x)3+7) le 0 quad , quad ((log_(3)x-1/2)(log_(3)x-(-1/7)))/(log_(3)x -0)^2 le 0 quad , quad {(((x-sqrt(3))(x-(root(7)(729))/3))/(x -1)^2 le 0), (x gt 0):} quad , quad [(x ge sqrt(3)),(0 lt x le (root(7)(729))/3 ):} quad`.

4. В пункте 2. Вашего решения в левой части неравенства пропушено `+1`.



Спасибо вам огромное! Ваше обьяснение помогло мне разобраться. Возьму на заметку такой быстрый способ моментального перехода к квадратному ур-ю без лишних морок O:-)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: