Решить `log_x(3x)<=\sqrt(log_x(3x^7))`.
Мое решение с каждым разом меняеться и всё больше отдаляеться от того, что даёт
https://www.wolframalpha.com/input/?i=log_x%283x%29%3C%3Dsqrt%28log_x%283x%5E7%29%29.
Я попробую порассуждать, а вы, пожалуйста, исправьте меня, где будет неправда
1. "
Основа основ – ОДЗ". `1 != x > 0, log_x(3x^7) >= 0`:
Немного упростим себе жизнь: `log_x(3x^7)=log_x(3)+7=\frac{1+7t}{t}`, где `t=log_3(x)`.
Теперь решим `\frac{1+7t}{t}>=0`:
Найдем знакочередующиеся интервалы, просто решив уравнение `\frac{1+7t}{t}=0`. Очевидно, что `0!=t=-1/7 \Leftrightarrow 1!=x=3^(-1/7)=\frac{1}{\root[7](3)}`. Проверим знаки на каждом из и получаем следующее: `\forall x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty) log_x(3x^7)>=0` (сразу учтём `1!=x>0).
Итого наше ОДЗ таково: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup (1; +\infty)`
2.
Преобразуем немного исходное нер-во: `\frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`.
3.
Ну и куде же без головы. Бросаться решать в тупую, imho, глупая идея. Можно заметить, что правая часть всегда неотрицательна. Итого, на интервале, когда левая неположительна это неравенство верно (`\frac{1}{t}<=0<=\sqrt(\frac{7t+1}{t}) \Rightarrow \frac{1}{t}<=\sqrt(\frac{7t+1}{t})`):
Решим `\frac{1}{t}<=0 \Leftrightarrow \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Найдём "нули" левой части: `0<x!=1` и посмотрим знаки на отрезках: `\forall x \in (0; 1) \frac{1}{log_3(x)}<=0`. Применим ОДЗ: `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}]`
4.
Пол дела уже сделано. Теперь случай, когда `\frac{1}{log_3(x)}>0`:
`\forall x \in (1; +\infty) \frac{1}{log_3(x)}>0`. Применим ОДЗ и ничего не измениться
Когда обе части больше нуля (или равны) можно возвести обе в квадрат и равенство останеться верным! Получим:
`\frac{-7t^2-t+1}{t^2}=\frac{-7(t-\frac{-1-\sqrt(29)}{14})(t+\frac{-1+\sqrt(29)}{14})}{t^2}<=0` Нули: `0!=t\in{\frac{-1-\sqrt(29)}{14}; \frac{-1+\sqrt(29)}{14}}` и "решение": `t \in (-\infty; \frac{-1-sqrt(29)}{14}] \cup [\frac{-1+sqrt(29)}{14}; +\infty)`. Немного изменим наше "решение" и получим уже решение: `x \in (-\infty; 3^(\frac{-1-sqrt(29)}{14})] \cup [3^(\frac{-1+sqrt(29)}{14}); +\infty)`. А теперь ещё и накинем сверху ОДЗ: `x \in [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`.
5. "
Глава V. Совмещение. Делаем выводы". `x \in (0; \frac{1}{\root[7](3)}] \cup [3^(\frac{-1+\sqrt(29)}{14}); +\infty)`. У меня молучился какой-то отрубленый на половину монстр. Потому что, если верить Вольфраму, только первая часть моего решения верна. Пожалуйста, укажите на мою ошибику!
P.S. Если будут какие-то глупые ошибки не бейте сильно
UPD: PP.S. Буду рад любым комментариям. А в оссобености советам, как решать такие задачи быстее. Может быть тут был более легкий способ решения. В действительности, моё решение отняло у меня очень много сил.
