Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тригонометрия с корнем
 Сообщение Добавлено: 28 фев 2021, 12:23 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 19 ноя 2020, 19:52
Сообщений: 18
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`

Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38

Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`

Но... wolfram (https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx) показывает только комплексные решения. А desmos (https://www.desmos.com/calculator) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)

Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите разобраться :-bd


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
 Сообщение Добавлено: 28 фев 2021, 13:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1568
Откуда: Москва
Во второй строчке ошибка: `\cos4x=2\cos^2 2x-1=2(2\cos^2x-1)^2-1=...`
Я бы решал так:
1. `\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx \quad\Leftrightarrow\quad 2cos4x-sin^2x-2=1+2\cosx+\cos^2x \quad\Leftrightarrow\quad \cos4x=\cosx+2`
2. `-1<=\cos4x<=1`, `1<=\cosx+2<=3 \quad\Rightarrow\quad {(\cos4x=1), (\cosx=-1):} \quad\Leftrightarrow\quad {(2(2\cos^2x-1)^2-1=1), (\cosx=-1):} \quad\Leftrightarrow\quad \cosx=-1 \quad\Leftrightarrow\quad x=pi+2pi n, n\in\mathbb{Z}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
 Сообщение Добавлено: 28 фев 2021, 15:32 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6473
Откуда: Москва
Подробности:
vim0 писал(а):
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`

Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38

Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`

Но... wolfram (https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx) показывает только комплексные решения. А desmos (https://www.desmos.com/calculator) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)

Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите разобираться :-bd

1.Уравнение `sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx` решается устно (без возведения

в квадрат и тригонометрических формул двойного-четвертного аргумента):

`qquad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx),(2cos(4x) le 2),(-sin^2x-2 le -2),(1+cosx ge 0):} quad, quad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x- 2)=1+cosx),(2cos(4x)-sin^2x-2 le 0),(1+cosx ge 0):} quad,`

`qquad {(cos(4x)=1), (sin^2x=0), (cosx = -1):} quad, quad {(cos(4x)=1), (x = pi+2pi n mid n in ZZ):} quad, quad x = pi+2pi n mid n in ZZ.`

2. Вы сделали ошибку во второй строчке Вашего решения. Должно быть:

2) `cos(4x)=cos(2 * 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)^2-1 quad ...` .

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
 Сообщение Добавлено: 28 фев 2021, 16:22 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1568
Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
vim0 писал(а):
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`

Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38

Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`

Но... wolfram (https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx) показывает только комплексные решения. А desmos (https://www.desmos.com/calculator) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)

Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите
разобираться :-bd

1.Уравнение `sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx` решается устно (без возведения

в квадрат и тригонометрических формул двойного-четвертного аргумента):

`qquad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx),(2cos(4x) le 2),(-sin^2x-2 le -2),(1+cosx ge 0):} quad, quad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x- 2)=1+cosx),(2cos(4x)-sin^2x-2 le 0),(1+cosx ge 0):} quad,`

`qquad {(cos(4x)=1), (sin^2x=0), (cosx = -1):} quad, quad {(cos(4x)=1), (x = pi+2pi n mid n in ZZ):} quad, quad x = pi+2pi n mid n in ZZ.`

2. Вы сделали ошибку во второй строчке Вашего решения. Должно быть:

2) `cos(4x)=cos(2 * 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)^2-1 quad ...` .


Спасибо, OlG! Не заметил, что оценку можно сразу применить :-bd


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
 Сообщение Добавлено: 01 мар 2021, 11:22 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 19 ноя 2020, 19:52
Сообщений: 18
Kirill Kolokolcev писал(а):
OlG писал(а):
Подробности:
vim0 писал(а):
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`

Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38

Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`

Но... wolfram (https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx) показывает только комплексные решения. А desmos (https://www.desmos.com/calculator) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)

Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите
разобираться :-bd

1.Уравнение `sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx` решается устно (без возведения

в квадрат и тригонометрических формул двойного-четвертного аргумента):

`qquad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx),(2cos(4x) le 2),(-sin^2x-2 le -2),(1+cosx ge 0):} quad, quad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x- 2)=1+cosx),(2cos(4x)-sin^2x-2 le 0),(1+cosx ge 0):} quad,`

`qquad {(cos(4x)=1), (sin^2x=0), (cosx = -1):} quad, quad {(cos(4x)=1), (x = pi+2pi n mid n in ZZ):} quad, quad x = pi+2pi n mid n in ZZ.`

2. Вы сделали ошибку во второй строчке Вашего решения. Должно быть:

2) `cos(4x)=cos(2 * 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)^2-1 quad ...` .


Спасибо, OlG! Не заметил, что оценку можно сразу применить :-bd


Присоеденяюсь к вам. Спасибо, OIG!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: