Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]
Автор
Сообщение
vim0
Заголовок сообщения: Тригонометрия с корнем
Добавлено: 28 фев 2021, 12:23
Зарегистрирован: 19 ноя 2020, 19:52Сообщений: 18
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`
Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38
Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`
Но... wolfram (
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx ) показывает только комплексные решения. А desmos (
https://www.desmos.com/calculator ) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)
Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите разобраться
Kirill Kolokolcev
Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
Добавлено: 28 фев 2021, 13:26
Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53Сообщений: 1568Откуда: Москва
Во второй строчке ошибка: `\cos4x=2\cos^2 2x-1=2(2\cos^2x-1)^2-1=...`
OlG
Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
Добавлено: 28 фев 2021, 15:32
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6473Откуда: Москва
Подробности:
vim0 писал(а):
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`
Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38
Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`
Но... wolfram (
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx ) показывает только комплексные решения. А desmos (
https://www.desmos.com/calculator ) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)
Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите разобираться
1.Уравнение `sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx` решается устно (без возведения
в квадрат и тригонометрических формул двойного-четвертного аргумента):
`qquad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx),(2cos(4x) le 2),(-sin^2x-2 le -2),(1+cosx ge 0):} quad, quad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x- 2)=1+cosx),(2cos(4x)-sin^2x-2 le 0),(1+cosx ge 0):} quad,`
`qquad {(cos(4x)=1), (sin^2x=0), (cosx = -1):} quad, quad {(cos(4x)=1), (x = pi+2pi n mid n in ZZ):} quad, quad x = pi+2pi n mid n in ZZ.`
2. Вы сделали ошибку во второй строчке Вашего решения. Должно быть:
2) `cos(4x)=cos(2 * 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)^2-1 quad ...` .
Kirill Kolokolcev
Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
Добавлено: 28 фев 2021, 16:22
Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53Сообщений: 1568Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
vim0 писал(а):
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`
Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38
Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`
Но... wolfram (
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx ) показывает только комплексные решения. А desmos (
https://www.desmos.com/calculator ) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)
Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите
разобираться
1.Уравнение `sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx` решается устно (без возведения
в квадрат и тригонометрических формул двойного-четвертного аргумента):
`qquad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx),(2cos(4x) le 2),(-sin^2x-2 le -2),(1+cosx ge 0):} quad, quad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x- 2)=1+cosx),(2cos(4x)-sin^2x-2 le 0),(1+cosx ge 0):} quad,`
`qquad {(cos(4x)=1), (sin^2x=0), (cosx = -1):} quad, quad {(cos(4x)=1), (x = pi+2pi n mid n in ZZ):} quad, quad x = pi+2pi n mid n in ZZ.`
2. Вы сделали ошибку во второй строчке Вашего решения. Должно быть:
2) `cos(4x)=cos(2 * 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)^2-1 quad ...` .
Спасибо,
OlG ! Не заметил, что оценку можно сразу применить
vim0
Заголовок сообщения: Re: Тригонометрия с корнем
Добавлено: 01 мар 2021, 11:22
Зарегистрирован: 19 ноя 2020, 19:52Сообщений: 18
Kirill Kolokolcev писал(а):
OlG писал(а):
Подробности:
vim0 писал(а):
`\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx`
Автор: Мордкович, задачник для 10 кл., №23.38
Моё решение:
1) `sin^2x=1-cos^2x`
2) `cos(4x)=cos(2 \times 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)-1=4t^2-3`, где `t=cosx`
3) Тогда данное ур-е равносильно такому: `\sqrt(9(t^2-1))=t+1 \rightarrow (t^2-1)>=0, t+1>=0, 9(t^2-1)=(t+1)^2 \rightarrow t\in{-1}\cup[1;+\infty), t\in{-1;\frac{5}{4}}`. Понятно, что `-1<=t<=1`, потому решение – `t=-1\rightarrow x=\pi(2n-1)`
4) Итого Ответ: `x=\pi(2n-1)`
Но... wolfram (
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282cos%284x%29-sin%5E2x-2%29%3D1%2Bcosx ) показывает только комплексные решения. А desmos (
https://www.desmos.com/calculator ) не показывает ничего (график `y=\sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)-1-cosx`имеет только одну точку `(0; -2)`)
Собственно вопрос, уважаемые форумчане, мое решение правильно? Помогите
разобираться
1.Уравнение `sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx` решается устно (без возведения
в квадрат и тригонометрических формул двойного-четвертного аргумента):
`qquad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x-2)=1+cosx),(2cos(4x) le 2),(-sin^2x-2 le -2),(1+cosx ge 0):} quad, quad {(sqrt(2cos(4x)-sin^2x- 2)=1+cosx),(2cos(4x)-sin^2x-2 le 0),(1+cosx ge 0):} quad,`
`qquad {(cos(4x)=1), (sin^2x=0), (cosx = -1):} quad, quad {(cos(4x)=1), (x = pi+2pi n mid n in ZZ):} quad, quad x = pi+2pi n mid n in ZZ.`
2. Вы сделали ошибку во второй строчке Вашего решения. Должно быть:
2) `cos(4x)=cos(2 * 2x)=2cos^2(2x)-1=2(2cos^2x-1)^2-1 quad ...` .
Спасибо,
OlG ! Не заметил, что оценку можно сразу применить
Присоеденяюсь к вам. Спасибо, OIG!
Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6
Вы не можете начинать темыне можете отвечать на сообщенияне можете редактировать свои сообщенияне можете удалять свои сообщенияне можете добавлять вложения
