Сколько существует таких пар `(a; b)` взаимно простых натуральных чисел, что число `(ma^2+nb^2)/(a+b)` целое (числа `m`, `n` натуральные)?

Здравствуйте, Лунная пчела!
Не до конца понял вашу задачу.
(ma^2+nb^2)/(a+b)=(ma^2+mab+nab+nb^2)/(a+b)-(nab+mab)/(a+b)=(ma+nb)(a+b)/(a+b)-(nab+mab)/(a+b)=ma+nb - ab(n+m)/(a+b)
Так как a и b взаимно простые, то число ab имеет только четыре делителя 1, a, b, ab. Очевидно, что a+b не равно 1, a и b. Так как сумма двух натуральных чисел равна их произведению только, когда a=b=2, то a+b не равно и ab. Следовательно, чтобы заданная дробь была равна целому числу, сумма m+n должна делиться на a+b. Но это зависит от конкретных значений m и n. Если m=n=1, то требуемой пары (a;b) не существует.
Если m=1, n=4, то требуемые пары (2;3), (3;2). И далее, чем больше m+n, тем больше может быть пар.

Здравствуйте!
После преобразований можно воспользоваться следующим:
(1) если `(a, b) = 1`, то `(a, b - a) = 1` (следствие из алгоритма Евклида);
(2) тождество Гаусса (https://www.problems.ru/view_problem_de ... p?id=60775).
В силу (1) верно, что `(a, a + b) = 1`, `(b, a + b) = 1`. Следовательно, `(ab, a + b) = 1`. Тогда число `a + b` есть натуральный делитель числа `m + n`.
Пусть `a + b = d`, где `d>1`. Количество пар (a; b) взаимно простых натуральных чисел, удовлетворяющих указанному равенству, равно `\varphi(d)`, ведь если `(a, d) = 1`, то `(a, d - a) = (a, b) = 1`.
Если принять во внимание, что случай `a + b = 1` не подходит, можно получить, воспользовавшись (2), ответ: `m + n - 1`.
Если `m + n = 15`, то существует ровно `14` пар `(a; b)` взаимно простых натуральных чисел: `(1; 14), (2; 13), (4; 11), (7; 8), (8; 7), (11; 4), (13; 2), (14; 1), (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), (1; 2), (2; 1)`.

Здравствуйте, Лунная пчела!
Спасибо за пояснения! Благодаря Вам я познакомился с алгоритмом Евклида, функцией Эйлера, взаимно простыми числами. А то я думал, что если число 1 не является простым, то оно не является и взаимно простым. Оказывается, 1 является взаимно простым с любым натуральным числом, в том числе и с 1.
Вооружившись новыми знаниями (сначала я почувствовал себя как в анекдоте: "А я то чё сунулся, я же читать не умею!"), я тщательно проштудировал Ваше решение. Не понял я только последнюю строку решения, где получается ответ. Итак, что я понял.
Пусть `m+n=p_1p_2`, тогда натуральный делитель `a+b` может равняться `p_1, p_2, p_1p_2`.
`\varphi(p_1)=p_1-1, \varphi(p_2)=p_2-1, \varphi(p_1p_2)=\varphi(p_1)\varphi(p_2)=(p_1-1)(p_2-1) `
Отсюда, искомое число пар `(a; b)` взаимно простых натуральных чисел равно:
`\varphi(p_1)+\varphi(p_2)+\varphi(p_1p_2)=(p_1-1)+(p_2-1)+(p_1-1)(p_2-1)=p_1p_2-1=m+n-1 `
Пусть `m+n=p_1^2p_2`, тогда натуральный делитель `a+b` может равняться `p_1, p_2, p_1p_2, p_1^2, p_1^2p_2`.
Отсюда, искомое число пар `(a; b)` взаимно простых натуральных чисел равно:
`\varphi(p_1)+\varphi(p_2)+\varphi(p_1p_2)+\varphi(p_1^2)+\varphi(p_1^2p_2)=`
`(p_1-1)+(p_2-1)+(p_1-1)(p_2-1)+p_1(p_1-1)+p_1(p_1-1)(p_2-1)=p_1^2p_2-1=m+n-1 `
Для частных случаев ответ совпадает с Вашим. Мне не понятно как Вы получили этот ответ устно, да ещё и в общем случае? В задаче, на которую Вы дали ссылку в пункте (2), дана формула `\varphi(p)=p-1` для простого числа `p`, но число `m+n` может быть и не простым.
И ещё мне интересна, если позволите, цель вашей задачи. Обычно сюда выкладывают задачи, которые не могут решить, а Вы знаете решение этой задачи. Хотели поделиться интересной задачей? Или хотели увидеть другие способы её решения?

Здравствуйте!
При переходе по ссылке должно отобразиться именно тождество Гаусса:
Из тождества Гаусса немедленно следует ответ для любых допустимых значений m+n, следовательно, наша цель состояла в том, чтобы поделиться задачей, которую, как мы считаем, легко можно решить в том только случае, если знать факт или суметь доказать предположение, полученное экспериментально (в данном случае - тождество Гаусса).

Здравствуйте, Лунная пчела!
Большое спасибо за разъяснения!
Да, первая ссылка приводила к тождеству Гаусса, но я сначала не понял к чему она. А пока разбирался с терминологией и обозначениями, уже и забыл, зачем я переходил по этой ссылке. Теперь всё ясно. Ещё раз большое спасибо за урок!

Представить число `5^11` в виде суммы квадратов четырёх натуральных чисел одним из способов

Согласно тождеству Эйлера о четырёх квадратах:

`5^11=5^5*5^6=(54^2+12^2+8^2+1^2)*(122^2+26^2+8^2+1^2)=`

`=(54*122-12*26-8*8-1*1)^2+(54*26+12*122+8*1-1*8)^2+(54*8-12*1+8*122+1*26)^2+(54*1+12*8-8*26+1*122)^2=`

`=6211^2+2868^2+1422^2+64^2.`

Итак, `5^11=6211^2+2868^2+1422^2+64^2.`

Можно ещё так.
Согласно тождеству Эйлера о четырёх квадратах:

`5^11=5^6*5^5=(5^3*5^3)*(5^3*5^2)=((8^2+6^2+4^2+3^2)(8^2+6^2+4^2+3^2))((8^2+6^2+4^2+3^2)(4^2+2^2+2^2+1^2))=`

`=((8*8-6*6-4*4-3*3)^2+(8*6+6*8+4*3-3*4)^2+(8*4-6*3+4*8+3*6)^2+(8*3+6*4-4*6+3*8)^2)((8*4-6*2-4*2-3*1)^2+(8*2+6*4+4*1-3*2)^2+(8*2-6*1+4*4+3*2)^2+(8*1+6*2-4*2+3*4))=`

`=(3^2+96^2+64^2+48^2)(9^2+38^2+32^2+24^2)=`

`((3*9-96*38-64*32-48*24)^2+(3*38+96*9+64*24-48*32)^2+(3*32-96*24+64*9+48*38)^2+(3*24+96*32-64*38+48*9))=`

`=6821^2+978^2+192^2+1144^2.`

Итак, `5^11=6821^2+978^2+192^2+1144^2.`