Жикатаки Тока писал(а):
Диагонали KM и LN четырехугольника KLMN, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. причем LM=MN.
а)Докажите ,что KL:LM=KP:PN.
б) Найдите, площадь треугольника МОN, где О -центр окружности, вписанной в треугольник KLN, если дополнительно известно, что LN - диаметр описанной около четырехугольника KLMN окружности, KL=2,5 а LM= (5√2)/2.
А) Треугольник `KLM` подобен треугольнику `KPN`. Тогда `KL:LM=KP:PN`, что и требовалось доказать.
Б) `LN=\sqrt{2} LM=5`. Так как `KL=\frac{1}{2} LN`, то `\angle KNL = \frac{\pi }{6}`, а `\angle KLN = \frac{\pi }{3}.`
Точка `O` лежит на диагонали `KM`. Имеем `\angle KMN =\angle KLN= \frac{\pi }{3},` `\angle ONL =\frac{\pi }{12},`
`\angle ONM = \angle ONL +\angle LNM =\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}.`
Следовательно, треугольник `MON` равносторонний. Его площадь равна `\frac{\sqrt{3}}{4} MN^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{25}{2}=\frac{25 \sqrt{3}}{8}.`
Ответ: Б) `\frac{25 \sqrt{3}}{8}.`