Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь По ссылке на решение лишь пару указаний на использование геометрии, но как-то она не очень используется.
Я рассудил, что значения всех переменных в системе должны быть одного знака. Поэтому можно рассмотреть сначала вариант, когда они все положительны. В комментариях к решению говорилось о Пифагоре - насколько я понял, имеется в виду треугольник со сторонами 3, 4, 5, на что намекает первое уравнения системы. Поэтому пробовал рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами `a`, `b`, гипотенузой `c` и синусом острого угла `\sin\alpha = \frac{3}{5}`. Теоретически это должно было как-то привести к треугольнику со сторонами `3t`, `4t`, `5t` (если я верно понял, то подсказка намекала на это). Однако пришёл лишь к равенству `\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}`, откуда, в принципе, можно получить `4a=3b=\frac{12c}{5}` и обозначить `a=y+\frac{1}{y}`, `b=x+\frac{1}{x}`, `c=\frac{25}{12}(z+\frac{1}{z})`. Теоретически дальше, наверное, надо применять теорему Пифагора, но она не приведёт к использованию второго уравнения. Второе уравнение пригодилось бы при раскрытии скобок в выражении вроде такого: `(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2`, но треугольник с этим выражением никак не связывается. В общем, застрял с этой системой
Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь По ссылке на решение лишь пару указаний на использование геометрии, но как-то она не очень используется.
Я рассудил, что значения всех переменных в системе должны быть одного знака. Поэтому можно рассмотреть сначала вариант, когда они все положительны. В комментариях к решению говорилось о Пифагоре - насколько я понял, имеется в виду треугольник со сторонами 3, 4, 5, на что намекает первое уравнения системы. Поэтому пробовал рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами `a`, `b`, гипотенузой `c` и синусом острого угла `\sin\alpha = \frac{3}{5}`. Теоретически это должно было как-то привести к треугольнику со сторонами `3t`, `4t`, `5t` (если я верно понял, то подсказка намекала на это). Однако пришёл лишь к равенству `\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}`, откуда, в принципе, можно получить `4a=3b=\frac{12c}{5}` и обозначить `a=y+\frac{1}{y}`, `b=x+\frac{1}{x}`, `c=\frac{25}{12}(z+\frac{1}{z})`. Теоретически дальше, наверное, надо применять теорему Пифагора, но она не приведёт к использованию второго уравнения. Второе уравнение пригодилось бы при раскрытии скобок в выражении вроде такого: `(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2`, но треугольник с этим выражением никак не связывается. В общем, застрял с этой системой
Огромное спасибо за ссылки, разобрался в решении. Кажется, я копал совсем не туда До этого пробовал решать алгебраически, используя неравенство `\frac{a^2+1}{a}\ge 2` при `a\gt 0`, пришёл к искомым тройкам ответов, - но вот доказать, что кроме этих троек ответов нет, уже не вышло.
OlG Встречалось ли Вам ранее уравнение типа $x^4+x^3+4x+1=0$ (здесь оба вещественных корня можно записать как трижды вложенные вещественные радикалы)? В известных мне задачниках по алгебре ничего подобного нет.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6868 Откуда: Москва
Подробности:
nnosipov писал(а):
OlG Встречалось ли Вам ранее уравнение типа $x^4+x^3+4x+1=0$ (здесь оба вещественных корня можно записать как трижды вложенные вещественные радикалы)? В известных мне задачниках по алгебре ничего подобного нет.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
