Через 2 недели ДВИ в МГУ.
Уважаемые преподаватели, не торопитесь размещать свои решения, дадим возможность абитуриентам порешать. Подсказки и советы приветствуются
Итак: часть 1 (простые задания)
№1.
Решите уравнение:
`2+|sin2x|=2cos8x`
____________________________
№2
Решить уравнение:
`sqrt(x+4)-x=sqrt(4-x)`
__________________________________
№3
При каких значениях параметра `a` корни уравнения `x^2-3ax+a^2=0` таковы, что сумма их квадратов равна `7/4`?
___________________________
№4
Найти наибольший отрицательный корень уравнения:
`sin(x+pi/3)+cos(x+pi/6)+sqrt3=0`
______________________
Продолжение следует....
Атветы без решений не засчитываются

1.`2+|sin2x|=2cos8x`

`2+|sin2x|>=2`
`-2<=2cos8x<=2`

Значит,равенство возможно только в случае,если:

`{(sin2x=0),(cos8x=1):}<=>x=(pin)/2,n in Z`

2.

Требует доработки...

3.

`x^2-3ax+a^2=0`

`{(x_1+x_2=3a),(x_1x_2=a^2):}`

`x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9a^2-2a^2=7a^2`

`7a^2=7/4<=>a^2=1/4<=>|a|=1/2`

Ответ: `|a|=1/2`

4.

`sin(x+pi/3)+cos(x+pi/6)+sqrt3=0`
`sinx1/2+cosxsqrt3/2+cosxsqrt3/2-sinx1/2=-sqrt3`
`2cosxsqrt3/2=-sqrt3`
`cosx=-1<=>x=pi+2pik, k in Z`

Наибольший отрицательный корень равен `pi-2pi=-pi`

1) `2+|sin2x|=2cos8x`
Область значения функции `y=2+sin2x` - `y in [2;3]` область значения функции `y_1=2cos8x` - `y_1 in [-2;2]` `=>` равенство достигается при `y=y_1=2`
получаем систему: `{(sin2x=0),(cos8x=1):}`
Решение первого уравнения системы: `x=(pi*k)/2, k in Z`
Решение второго уравнения системы: `x=(pi*n)/4, n in Z`
решение системы:` x=(pi*n)/2, n in Z`
Ответ: `(pi*n)/2, n in Z`

3)По теореме Виета : `{(x_1+x_2=3a),(x_1*x_2=a^2):}`;
`x_1^2+x_2^2= x_1^2+2*x_1*x_2+x_2^2-2x_1*x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1*x_2=(3a)^2-2a^2=7a^2`; `7a^2=7/4`; `a^2=1/4`; `a=+-1/2`

_____________________________________________________________
Долго набирал

По поводу иррационального :f(x) на (0;4) убывает

Тимур, №1 и №3 и №4 Зачот!
а №2 низачот
Саня, молодец! Скоро еще напишу

в лоб. Недолго

№5
Решить уравнение:
`5^x*8^(x/(x+1))=100`
__________________________
№6
Решить уравнение:
`12/|tgx+ctgx|=5-cos4x`