Здравствуйте, Уважаемые Форумчане. Во время решения задач, связанных с тригонометрией у меня иногда возникает два вопроса, если вам не трудно, пожалуйста, ответьте на них: 1) Как правильно оформлять такие задачи?[(Условие под спойлером)имеется ввиду задачи, в которых есть система с какой-либо зависимостью одного аргумента тригонометрической функции от друго аргумента]Я рассуждаю так: #1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)` Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`. #2. Подставим последнее полученное равенство во вторую строчку системы, получим : `x+x=pi/2` отсюда: `x=pi/4`. Аналогично `y=pi/4`. Но что вообщем-то логично, решением данной системы является не просто `x=pi/2` и `y=pi/2`, а некоторое множество вида `x=pi/2+2pin,n in Z` ведь сколько бы мы не прибавляли полных оборотов в первом элементе системы или во втором, мы получим один и тот же результат. и аналогично для `y`... сам вопрос: как правильно перейти к этому множеству и оформить этот переход? Казалось бы, авторы таких задачек сами никогда не пишут в таких зависимостях что-то вроде `x+y=pi/2+2pin, n in Z`(Кстати, почему?) А если у нас есть система, в которой имеется такая линейная зависимость аргументов + ещё совокупность множеств корней, как быть с их оформлением, должен ли у них быть один и тот же коэффицент-буква у периода? Ведь зависимость касается каждого множества корней, и по сути в конечном итоге ответ такой системы должен лежать в одном множестве, коэффицент-буковка которого - одинаков. Что-то я запутался...
Подробности:
И второй вопрос: пусть решением некоторого уравнения является совокупность корней : `[(x=pi/3+2pin, n in Z),(x=2pi/3+2pin,n in Z),(x=pi/2+pin,n in Z):}` При это по ОДЗ `x!=pi/2+pi/2k,k in Z` #1 Очевидно, что `x=pi/2+pi/2k, k in Z ` и `x = pi/2 + pin, n in Z` рано или поздно будут равны одному и тому же углу при `k=2n`, а значит, что нельзя вписать всё множество корней вида `x=pi/2+pin, n in Z` в ответ. Так как же его записать? Вот так : `x=pi/2+pin,n in Z, n!=k/2, k in Z`? Такое примут на ЕГЭ? #2 Я правильно понимаю, что если у нас в уравнению выходят несколько тригонометрических функций, каждая из которых даёт свои корни в итоге, то желательно записывать разные коэффиценты у их периода? Т.е. множество корне йданной совокупности `[(sinx=0),(cosx=sqrt(3)/2),(tg=1):}`необходимо записывать с разными буквами-коэффицентами у периода?
OlG
Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
ITwearsmeout писал(а):
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане. Во время решения задач, связанных с тригонометрией у меня иногда возникает два вопроса, если вам не трудно, пожалуйста, ответьте на них: 1) Как правильно оформлять такие задачи?[(Условие под спойлером)имеется ввиду задачи, в которых есть система с какой-либо зависимостью одного аргумента тригонометрической функции от друго аргумента]Я рассуждаю так: #1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)` Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`. #2. Подставим последнее полученное равенство во вторую строчку системы, получим : `x+x=pi/2` отсюда: `x=pi/4`. Аналогично `y=pi/4`. Но что вообщем-то логично, решением данной системы является не просто `x=pi/2` и `y=pi/2`, а некоторое множество вида `x=pi/2+2pin,n in Z` ведь сколько бы мы не прибавляли полных оборотов в первом элементе системы или во втором, мы получим один и тот же результат. и аналогично для `y`... сам вопрос: как правильно перейти к этому множеству и оформить этот переход? Казалось бы, авторы таких задачек сами никогда не пишут в таких зависимостях что-то вроде `x+y=pi/2+2pin, n in Z`(Кстати, почему?) А если у нас есть система, в которой имеется такая линейная зависимость аргументов + ещё совокупность множеств корней, как быть с их оформлением, должен ли у них быть один и тот же коэффицент-буква у периода? Ведь зависимость касается каждого множества корней, и по сути в конечном итоге ответ такой системы должен лежать в одном множестве, коэффицент-буковка которого - одинаков. Что-то я запутался...
И второй вопрос: пусть решением некоторого уравнения является совокупность корней : `[(x=pi/3+2pin, n in Z),(x=2pi/3+2pin,n in Z),(x=pi/2+pin,n in Z):}` При это по ОДЗ `x!=pi/2+pi/2k,k in Z` #1 Очевидно, что `x=pi/2+pi/2k, k in Z ` и `x = pi/2 + pin, n in Z` рано или поздно будут равны одному и тому же углу при `k=2n`, а значит, что нельзя вписать всё множество корней вида `x=pi/2+pin, n in Z` в ответ. Так как же его записать? Вот так : `x=pi/2+pin,n in Z, n!=k/2, k in Z`? Такое примут на ЕГЭ? #2 Я правильно понимаю, что если у нас в уравнению выходят несколько тригонометрических функций, каждая из которых даёт свои корни в итоге, то желательно записывать разные коэффиценты у их периода? Т.е. множество корне йданной совокупности `[(sinx=0),(cosx=sqrt(3)/2),(tg=1):}`необходимо записывать с разными буквами-коэффицентами у периода?
1. Как раз - нелогично (второе уравнение не выполняется), поэтому `{(x=pi/4),(y=pi/4):} quad.`
2. Третью серию решений в ответ не записывать (неочевидно, т.к. ОДЗ "выкалывает" эту серию решений целиком).
3. Можно записывать с одинаковыми буквами.
_________________ Никуда не тороплюсь!
ITwearsmeout
Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане. Во время решения задач, связанных с тригонометрией у меня иногда возникает два вопроса, если вам не трудно, пожалуйста, ответьте на них: 1) Как правильно оформлять такие задачи?[(Условие под спойлером)имеется ввиду задачи, в которых есть система с какой-либо зависимостью одного аргумента тригонометрической функции от друго аргумента]Я рассуждаю так: #1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)` Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`. #2. Подставим последнее полученное равенство во вторую строчку системы, получим : `x+x=pi/2` отсюда: `x=pi/4`. Аналогично `y=pi/4`. Но что вообщем-то логично, решением данной системы является не просто `x=pi/2` и `y=pi/2`, а некоторое множество вида `x=pi/2+2pin,n in Z` ведь сколько бы мы не прибавляли полных оборотов в первом элементе системы или во втором, мы получим один и тот же результат. и аналогично для `y`... сам вопрос: как правильно перейти к этому множеству и оформить этот переход? Казалось бы, авторы таких задачек сами никогда не пишут в таких зависимостях что-то вроде `x+y=pi/2+2pin, n in Z`(Кстати, почему?) А если у нас есть система, в которой имеется такая линейная зависимость аргументов + ещё совокупность множеств корней, как быть с их оформлением, должен ли у них быть один и тот же коэффицент-буква у периода? Ведь зависимость касается каждого множества корней, и по сути в конечном итоге ответ такой системы должен лежать в одном множестве, коэффицент-буковка которого - одинаков. Что-то я запутался...
И второй вопрос: пусть решением некоторого уравнения является совокупность корней : `[(x=pi/3+2pin, n in Z),(x=2pi/3+2pin,n in Z),(x=pi/2+pin,n in Z):}` При это по ОДЗ `x!=pi/2+pi/2k,k in Z` #1 Очевидно, что `x=pi/2+pi/2k, k in Z ` и `x = pi/2 + pin, n in Z` рано или поздно будут равны одному и тому же углу при `k=2n`, а значит, что нельзя вписать всё множество корней вида `x=pi/2+pin, n in Z` в ответ. Так как же его записать? Вот так : `x=pi/2+pin,n in Z, n!=k/2, k in Z`? Такое примут на ЕГЭ? #2 Я правильно понимаю, что если у нас в уравнению выходят несколько тригонометрических функций, каждая из которых даёт свои корни в итоге, то желательно записывать разные коэффиценты у их периода? Т.е. множество корне йданной совокупности `[(sinx=0),(cosx=sqrt(3)/2),(tg=1):}`необходимо записывать с разными буквами-коэффицентами у периода?
1. Как раз - нелогично (второе уравнение не выполняется), поэтому `{(x=pi/4),(y=pi/4):} quad.`
2. Третью серию решений в ответ не записывать (неочевидно, т.к. ОДЗ "выкалывает" эту серию решений целиком).
3. Можно записывать с одинаковыми буквами.
Но ведь при `k=n=1` получаем `x!=pi`; `x=3*pi/2` Углы не совпадают, значит вроде как можно записать второй икс в ответ.
OlG
Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
Зарегистрирован: 02 май 2012, 10:56 Сообщений: 188
ITwearsmeout писал(а):
Я рассуждаю так: #1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)` Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
Здесь ошибка в рассуждениях (и по-видимому также в понимании происходящего). Нет никаких двух функций. Есть одна функция `f(t)=3t-cos(t)`. У нас слева и справа в первом уравнении написаны значения этой функции в двух точках: `t=x` и `t=y`. То есть первое уравнение может быть записано как `f(x)=f(y)`. Далее, так как функция `f(t)` монотонна, то отсюда можно сделать вывод, что `x=y`.
Подробности:
Если более подробно, то из монотонности следует инъективность. У инъективной функции из равенства образов `f(x)` и `f(y)` следует равенство прообразов `x` и `y`. Ещё раз: никаких "они пересекутся", так как у нас одна функция, и мы не рассматриваем пересечения её графика с чем-то ещё.
ITwearsmeout
Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
Я рассуждаю так: #1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)` Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
Здесь ошибка в рассуждениях (и по-видимому также в понимании происходящего). Нет никаких двух функций. Есть одна функция `f(t)=3t-cos(t)`. У нас слева и справа в первом уравнении написаны значения этой функции в двух точках: `t=x` и `t=y`. То есть первое уравнение может быть записано как `f(x)=f(y)`. Далее, так как функция `f(t)` монотонна, то отсюда можно сделать вывод, что `x=y`.
Подробности:
Если более подробно, то из монотонности следует инъективность. У инъективной функции из равенства образов `f(x)` и `f(y)` следует равенство прообразов `x` и `y`. Ещё раз: никаких "они пересекутся", так как у нас одна функция, и мы не рассматриваем пересечения её графика с чем-то ещё.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения