Добрый день. Прорешиваю олимпиаду и столкнулся с несколькими непонятными задачами

1. В геометрической прогрессии со знаменателем 8 первый член больше 1. Какое наибольшее число членов этой прогрессии подряд может начинаться не на 1?
2. Функция `f(x)` такова, что `f(1/x)+f(1/y)=f(1/(x+y))`. При этом `f(5)=60`. Найдите `f(3)`.
3. Делители числа 120 (включая единицу и само число) разделили на две равные (по количеству элементов) группы, одну из которых покрасили в красный цвет, а вторую - в синий. Оказалось, что красные числа делятся только на красные. Какое наибольшее значение может принимать сумма красных делителей?
4. Ненулевой вектор с целочисленными координатами повернули на угол, тангенс которого составляет `5/13`. Получился другой вектор с целочисленными координатами. Найдите наименьшее возможное значение квадрата длины исходного вектора.
5. Десять ребят водили хороводы из семи человек каждый. Оказалось, что любые двое держались за руки не больше одного раза. Какое наибольшее число хороводов могло быть?
6. На плоскости нарисовали 12 прямых. Только в одной точке пересекаются больше двух из них. Также отмечено некоторое количество точек. Оказалось, что на каждой прямой отмечено не менее 5 точек. Какое наименьшее число точек могло быть отмечено?

Что сделано:
1. через перебор получил что первое число 9 => max число членов = 8. Хотелось бы доказательство + не сказано что числа целые, так что перебор не подходит.
2. на просторах есть подобная задача, но там функция проще: т.е. берется, например, 1 и получается зависимость `f(1)~x`. Здесь так не проходит
3. выписывать все делители не вариант
4. есть формула для координат вектора через поворот (там синусы и косинусы). Через нее получил дробь `(13x-5y)/(5x+13y)`, которая целое число. Что дальше?
5. комбинаторика(
6. "здесь мои полномочия все..." даже не знаю как приступить

Надеюсь, это не действующая олимпиада.
У меня такие ответы получились, но не знаю правильные ли они.

Почему не действующая?
Все ответы верные, кроме последнего (в 4 нужен квадрат, так что тоже верно).
Поделитесь мыслями по решению

Я имел ввиду, что мы не помогаем кому-то решить задачи, ответы на которые прямо сейчас принимаются в вузе онлайн.
Пусть школьники сами участвуют.
Извините, подробно нет времени оформлять решения. Сделал наброски.
В последней задаче у меня получился ответ 33. Я что-то просчитался в предыдущем варианте.

Спасибо огромное, но два вопроса:
1. Почему в 4 Вы взяли отношение `5/12`, а не `5/13` как в условии?
2. Какие рассуждения в 6? Правильный ответ - 28

Здравствуйте, jonik!
В моем решении получается равенство x=t*sqrt((n^2+1)/(k^2+1)), где x и t - целые числа. Если взять отношение 5/13, то корень не извлекается и х не может быть целым. Поэтому я решил, что в условии задачи опечатка и заменил отношение на 5/12.
В 6 задании мой ответ сильно отличается от правильного, значит мои рассуждения неверные. Попробую поискать другие варианты. Если не получится, то напишу какие были рассуждения для 33 точек.

Вот решение всех 6 задач.
Я добавил решение 6 задачи в предыдущий файл.

Спасибо огромное , разобрался