Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады » Математика




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 11 фев 2020, 17:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 822
На закончившемся заочном этапе олимпиады Физтеха для старших классов была предложена задача типа:
При каком минимальном значении параметра `a` система `{(f(x,y;a)=0),(g(x,y;a) h(x,y;a)=0):}` будет иметь ровно `n` корней?

Скорее всего, задачи этого типа хорошо известны экспертам-математикам и, возможно, уже разбирались на форуме.
Может кто-нибудь напишет рекомендации по решению задач этого типа (или даст ссылку на них)?
Известные мне ученики (11-ый и 10-ый классы) споткнулись на этой задаче, получив неверные ответы. И обоих подвела не четкая логика в рассуждениях.

пример задачи для 10-го класса
Подробности:
Вложение:
Math_10_(3).PNG
Math_10_(3).PNG [ 46.39 KIB | Просмотров: 1092 ]
пример задачи для 11-го класса
Подробности:
Вложение:
Math_11_(3).PNG
Math_11_(3).PNG [ 60.3 KIB | Просмотров: 1092 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 11 фев 2020, 21:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1314
Откуда: Москва
ar54 писал(а):
пример задачи для 11-го класса
Подробности:
Вложение:
[img]Math_11_(3).PNG[/img]

Данная система равносильна следующей:
`{(x=8/(y^2)), ([(y-2/a-a/x=0), (x^2+(y-2/a)^2=2a):}):}`
Кривая `x=8/(y^2)` расположена в правой полуплоскости относительно оси `Oy` и симметрична относительно оси `Ox`.
Подставляя выражение для `x` в первое уравнение совокупности, получаем `-a/8 y^2+y-2/a=0`, откуда `y=4/a`.
Таким образом, у кривой `x=8/(y^2)` и гиперболы `y=a/x+2/a` есть общая точка при любых `a\ne0`.
Далее заметим, что у гиперболы `y=a/x+2/a` и окружности `x^2+(y-2/a)^2=2a` при любых `a\ne0` есть общие точки `(-sqrt(a), -sqrt(a)+2/a)` и `(sqrt(a), sqrt(a)+2/a)`.
Поскольку при `x=sqrt(a)` для `y>0` имеем `y=(2sqrt(2))/(\root(4)(a))\le sqrt(a)+2/a`, то точка `(sqrt(a), sqrt(a)+2/a)` расположена правее графика кривой `x=8/(y^2)`, в то время как центр окружности `(0, 2/a)` (расположенный на положительной части оси `Oy`) расположен левее. Значит, окружность `x^2+(y-2/a)^2=2a` имеет с кривой `x=8/(y^2)` хотя бы одну общую точку. Таким образом, чтобы система имела ровно одно решение, точка пересечения окружности с гиперболой должна совпасть с точкой пересечения гиперболы с кривой, т.е. `4/a=sqrt(a)+2/a`, откуда `a=\root(3)(4)`.
Подробности:
В ответ к задаче надо записать `4`


В задаче 10 класса аналогичная ситуация с касанием графиков: вершина параболы лежит на окружности и при отрицательных `a` парабола касается кривой `y=-x^4/4`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 00:23 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1888
Kirill Kolokolcev писал(а):

В задаче 10 класса аналогичная ситуация с касанием графиков: вершина параболы лежит на окружности и при отрицательных `a` парабола касается кривой `y=-x^4/4`


В задаче 10-го класса все намного проще: если `(x,y)` - решение, то `(-x,y)` - тоже решение.
И чтобы решений стало нечетное число, нужно, чтобы :))))

В задаче 11-го класса тоже, наверняка, можно подобрать подходящую симметрию, просто чуть более хитрую. И она тоже решится устно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 20:23 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 448
Kirill Kolokolcev писал(а):
Значит, окружность `x^2+(y-2/a)^2=2a` имеет с кривой `x=8/(y^2)` хотя бы одну общую точку.

Насколько я понял, Вы доказываете это утверждение так: возьмем точку $(x,y)=(\sqrt{a},\frac{2\sqrt{2}}{a^{1/4}})$ на указанной кривой и покажем, что она лежит внутри упомянутой окружности (и тогда, действительно, кривая и окружность пересекутся, поскольку заведомо есть точки кривой, лежащие вне окружности, ибо кривая неограничена). Однако такая точка $(x,y)$ оказывается внутри окружности не при всех $a$ (а именно, при $a$, близких к нулю, это не так).

Вместе с тем, само утверждение мне кажется верным (и, как следствие, верен ответ). Но при доказательстве я бы отдельно рассмотрел случаи "малых" и "больших" $a$. Для "малых" $a$ подбирается другая точка кривой, лежащая внутри окружности.

Вообще, не видно никакого совсем простого решения этой задачи. Извращенцы, которые сочиняют подобные "шедевры", вполне могут ошибиться при решении своей же собственной задачи.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 20:36 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1314
Откуда: Москва
nnosipov писал(а):
Kirill Kolokolcev писал(а):
Значит, окружность `x^2+(y-2/a)^2=2a` имеет с кривой `x=8/(y^2)` хотя бы одну общую точку.

Однако такая точка $(x,y)$ оказывается внутри окружности не при всех $a$ (а именно, при $a$, близких к нулю, это не так).

Почему же? При $a$, близких к нулю, будет 2 точки пересечения. Wolfram Alpha даже при `a=10^(-50)` выдает действительные решения


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 20:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1314
Откуда: Москва
alex123 писал(а):

В задаче 10-го класса все намного проще: если `(x,y)` - решение, то `(-x,y)` - тоже решение.
И чтобы решений стало нечетное число, нужно, чтобы :))))

Да, в задаче 10 класса такое решение даже лучше)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 20:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 448
Kirill Kolokolcev писал(а):
При $a$, близких к нулю, будет 2 точки пересечения. Wolfram Alpha даже при `a=10^(-50)` выдает действительные решения

Я и не утверждаю, что их не будет. Наоборот, как я уже написал, сформулированное утверждение верно при любом $a$. Вопрос в том, как это доказать. Ваше доказательство (если я его правильно понял) мне представляется неполным --- для "малых" $a$ не работает.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 21:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1314
Откуда: Москва
nnosipov писал(а):
Kirill Kolokolcev писал(а):
При $a$, близких к нулю, будет 2 точки пересечения. Wolfram Alpha даже при `a=10^(-50)` выдает действительные решения

Я и не утверждаю, что их не будет. Наоборот, как я уже написал, сформулированное утверждение верно при любом $a$. Вопрос в том, как это доказать. Ваше доказательство (если я его правильно понял) мне представляется неполным --- для "малых" $a$ не работает.

Почему не работает? При любых `a>0` точка касания гиперболы и окружности лежит правее кривой `x=8/(y^2)`, значит, окружность пересекает кривую (касается ее).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача Физтех-олимпиады
 Сообщение Добавлено: 12 фев 2020, 21:52 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 448
Да, я неправильно понял доказательство. Действительно, нужно доказывать, что окружность пересечет кривую (а не кривая пересечет окружность, как мне думалось), и тогда проблем не будет (ибо центр окружности и одна из ее точек разделяются кривой при любом $a>0$).


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: