Мне вот тут недавно подсунули задачку. (№10). Ностальгия. . Посмотрела, вроде такие задания на форуме не выкладывали, может на старом остались. Поэтому размещу, полезно порешать.

Что-то никто из "целевой аудитории" не заинтересовался...
А жаль...
В "Шаге в будущее" очень качественная стереометрия.
Как говорится, почувствуй разницу... это не ширпотреб типа С2.
Скоро все, чо не решается сатанинским методом будет уже нерешаемо в принципе.
А задачку эту мы стопудов решали, только сейчас уже не вспомню где.
Вот тут, кстати, книжечка есть, рекомендую почитать. Особенно тем, кто собирается "Шагать" в этом году.

Номер3

`4^(2sqrtx+1)-9*4^(sqrtx)+2=0`
Пусть `4^(sqrtx)=m`, тогда уравнение равносильно:
`{(m>=1),(m^2-9m+2=0):}=>m=2`

`4^(sqrtx)=2`
`sqrtx=1/2`
`x=1/4`..

Номер 5:

`(x-3sqrt(x-3)-1)/(4sqrt(x-3)-x)<=0`

Неравенство равносильно совокупности систем А и Б:

А) `{(x-3sqrt(x-3)-1>=0),(4sqrt(x-3)-x<0):}`
B) `{(x-3sqrt(x-3)-1<=0),(4sqrt(x-3)-x>0):}`


Система А равносильна системе:
`{(x>=3),(x>=1),(x^2-11x+28>=0),(x>=0),(x^2-16x+48>0):}<=>x in [3;4) uu (12;oo)`

Система Б равносильна системе:
`{(x>=3),(x>=1),(x^2-11x+28<=0),(x>=0),(x^2-16x+48<0):}<=>x in (4;7]`

Следовательно: `x in [3;4) uu (4;7] uu (12;oo)`

Номер 8...

Пусть касательная задана уравнением `y=kx+b`...
Т.к прямая проходит через точку (`-sqrt3;-3/2)``
`-sqrt3k+b=-3/2`
`b=ksqrt3-3/2`

Тогда т.к прямая `y=kx+b` является касательной к параболе `y=x^2/6`...
Уравнение:
`x^2/6=kx+ksqrt3-3/2` имеет один корень,т.е
`3k^2+2ksqrt3-3=0`
`k_1=-sqrt3, k_2=sqrt3/3`

Тогда первая прямая задаётся уравнением `y=-sqrt3x-9/2`
Вторая прямая: - `y=sqrt3/3x-1/2`

`k1*k2=-1`, поэтому данные прямые перпендикулярны, т.е угол между ними - 90 градусов...

`sin3x+sin7x=sqrt3cos2x`
`2sin5xcos2x=sqrt3cos2x`
`cos2x(2sin5x-sqrt3)=0`
`[(cos2x=0),(sin5x=sqrt3/2):}`
`[(x=pi/4+(pin)/2),(x=pi/15+(2pik)/5),(x=(2pi)/15+(2pim)/5):}`

Отрезку `[pi/4;pi/2]` принадлежат корни: `pi/15,(2pi)/15,pi/4,(7pi)/15`

Вариант №2
Задание №9
Уравнение имеет решения при `a < 1`
Решения:
`\ \ a in (-oo, -2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-a+-sqrt(2-a)`
`\ \ \ a = -2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=4`
`\ \ \ \ a in (-2,-1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=sqrt(2-a)-a`
`\ \ \ \ \ a=-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1+sqrt(3)`
`\ \ \ \ \ \ a in (-1,0) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=sqrt(2-a)-a \ \ \ \ \ x=-a-sqrt(-a)`
`\ \ \ \ \ \ \ a=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=sqrt(2)`
`\ \ \ \ \ \ \ \ a in (0,1) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=sqrt(2-a)-a`
При `a>=1` Решений НЕТ!

Здравствуйте... Расскажите пожалуйста, как вы решали...
Я рассмотрел уравнение при `x>0` и `x<0`


A) `{(x>0),(x^2+2ax+a^2+a-2=0):}`
Б) `{(x<0),(x^2+2ax+a^2+a=0):}`

Исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если хотя бы одна из двух систем будет иметь решение...

Не знаю,как грамотно теперь это записать...
Например, система А будет иметь одно решение, если
`f(0)<0`, т.е `a^2+a-2<0<=>a in (-2;1)`

Система Б будет иметь одно решение, при `f(0)<0`, т.е `a^2+a<0<=>a in (-1;0)`

Система А будет иметь два решения, при:
`{(x_0>0),(8-4a>0),(a^2+a-2>0):}<=>a in (-oo;-2)`...

При этих `a` система Б решений иметь не будет.... и.т.д...

И дальше так анализировать решения двух систем или есть более эффективный метод?

1. Составил две системы
2. В каждой системе рассматривал кол-во корней и промежутки удовлетворяющие условию
3. Обьединил промежутки и соответственно выявил кол-во корней на данных промежутках
4. Записал ответ учитывая решение систем

Вся фишка кроется в рассмотрение всех возможных случаев при которых парабола может иметь решения при положительном и отрицательном `x` а дальше просто обединить найденные промежутки для `a` и корректно записать ответ.

Спасибо! Я в общем-то то же самое и делал..Просто немного усомнился в рациональности такого решения...