Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
Пора, пора воспрясть, размяться Задачи 1, 2 (или подобные) были, по-моему, на форуме, но их легче решить, чем искать.
Подробности:
"Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!" - А. Нивен. Кстати, очень полезная книга для старшеклассника: Айвен Нивен. Числа рациональные и иррациональные (Современная математика. Популярная серия ) - 1966.
Никак? Тогда подсказки.
Подробности:
Задача 1. Методом математической индукции не пробовали? Задача 2. `n=(n+1)-1`.
Если все же кое-кто у нас порой...
Подробности:
Задача 2. Существует ли такой `y`, для которого `cos y=(1*1!+2*2!+...+2012*2012!)/(2013!)` ? Решение. Так как `k cdot k! = (k+1)! -k!` при `k in NN`, то `sum_(k=1)^(n)k cdot k! = (n+1)! - 1! <(n+1)!` и `y = pm arccos (1- 1/((n+1)!)) +2 pi m`, `m in ZZ`.
Задача 1. Даны положительные числа `c_1, c_2, ..., c_n` такие, что `c_1 c_2 \cdots c_n =1`. Докажите, что `ln(1+c_1)+ln(1+c_2)+\cdots +ln(1+c_n) >= n*ln2`. Решение. Методом математической индукции докажем следующее эквивалентное утверждение: если `c_i >0`, `i=1,2, dots , n` и `c_1 \cdot c_2 \cdots c_n =1`, то `(1+c_1 ) cdot (1+c_2 ) cdots (1+c_n )>=2^n`. При `n=1`: `c_1 =1 => 1+c_1 >= 2^1`. Пусть доказываемое утверждение справедливо при некотором `n in NN` и `c_1 cdot c_2 cdots c_(n+1) =1`, `c_i >0`, `i=1,2, dots , n+1`. Если `c_1 =c_2 = dots =c_(n+1) =1` то утверждение `2^(n+1)>=2^(n+1)` справедливо. Если же не все `c_i =1`, то найдутся `c_m >1` (иначе `c_1 cdot c_2 cdots c_(n+1) <1`) и `c_j <1` (иначе `c_1 cdot c_2 cdots c_(n+1) >1`). Обозначим `b=c_m \cdot c_j`. Тогда `b \cdot prod_(k!=m, k!=j) c_k =1` и, по предположению индукции, `(1+b) \cdot prod_(k!=m, k!=j) (1+c_k )>=2^n`. Но `((1+c_m )(1+c_j ))/(1+b)=1+(c_m +c_j )/(1+c_m c_j )>2`, так как `c_m +c_j -(1+c_m c_j )=(c_m -1)(1-c_j )>0`: оба множителя положительны. Отметим, что мы доказали уточнение: равенство достигается в том и только в том случае, когда `c_1 =c_2 = dots =c_n =1`.
"Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!" - А. Нивен. Кстати, очень полезная книга для старшеклассника: Айвен Нивен. Числа рациональные и иррациональные (Современная математика. Популярная серия ) - 1966.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
