Дисклеймер: помещение этой темы в "полезную информацию" - скорее шутка. А информация абсолютно бесполезная. Потратить время можно намного более продуктивно.
Итого: хотим доказать оценку `3+10/71<pi<22/7`.
1. Доказываем неравенство `sin(x)<x<tg(x)`.
2. `sin(pi/120)<pi/120<tg(pi/120)`.
3. `120*sin(pi/120)<pi<120*tg(pi/120)`.
4. Считаем синус и тангенс:
4.1 `sin(18^o)=(sqrt(5)-1)/4`;
4.2 Считаем `sqrt(5)` c точностью до 6 знаков: `2,236067<sqrt(5)<2,236068`. Это можно сделать кучей способов: в столбик, формулой Герона aka метод Ньютона, как отношение членов какой-нибудь рекуррентной последовательности и.т.д. Первые два метода вполне школьные.
4.3. Получаем оценки сверху и снизу на синус и косинус 18 градусов.
4.4. Тоже самое проделываем с синусом и косинусом 15 градусов. Они тоже очевидно выражаются в квадратных радикалах.
4.5 Получаем оценки на косинус 3 градусов.
4.6 Получаем оценки на синус и тангенс 1.5 градусов, что и есть `pi/120`.
5. Убеждаемся, что `120*tg(pi/120)<22/7` и `120*sin(pi/120)>3+10/71`.
6. Бинго!
Убиваем на это урок, зато избавляемся от вопросов "как это можно придумать" и "зачем надо то, то и это". Классический архимедов способ красивее, но его намного сложнее придумать.
Ну и, конечно, можно было бы убить урок на разложение арктангенса в ряд, вывести формулу Мэчина и посчитать пи со многими знаками после запятой. Разумеется, это намного более осмысленная деятельность. Но:
1. Если это сделать всего за урок - будет халтура и "галопом по Европам";
2. В сильном мат.классе все равно, рано или поздно, разложат арктангенс в ряд, делать это только ради формулы Мэчина - странная затея;
3. Ни сильные ни слабые ребята никогда не будут заниматься ручным вычислением числа ПИ, поэтому, по большому счету, оба подхода - чистое развлекалово для сильного класса и пропаганда для слабого.
4. Никто не заставляет делать это в один присест. Если разбить на серию задач, то можно либо на дом дать, либо потратить немного времени на нескольких уроках.
5. Остается вопрос, откуда сами оценки взялись. Ну так, если останутся незамученные, можно поискать дроби с маленькими знаменателями, между которыми заключены полученные ранее оценки на `120*tg(pi/120)` и `120*sin(pi/120)`.
