Пусть $N$ нечетно. Докажите, что $\sum_{j=0}^{N-1} j\tan{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j\cot{\frac{\pi j}{N}}$.

На всякий случай сообщу (хотя, полагаю, многие догадались), что $\tan$ --- это тангенс, а $\cot$ --- котангенс.

А что мешало так написать?
$\sum_{j=0}^{N-1} j\cdot\operatorname{tg}{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j \cdot\operatorname{ctg}{\frac{\pi j}{N}}$

Давно таких задач не встречал.
Исписал кучу бумаги (чувствую внуки займут первое место по макулатуре), испробовал разне подходы - ничего не получилось.
Остался еще один неиспользованный способ - рассмотреть углы относительно `pi/4`, тангенс которого 1. Руки не доходят.

_________________
Сопротивление бесполезно.

voloch, под Firefox это, увы, не работает.

vyv2, большое спасибо, что поучаствовали. Эту задачу я сочинил по аналогии с задачей 11873 (Amer. Math. Monthly, 2017, V. 124, № 8, p. 756). Возможно, совсем школьного пути решения здесь и нет (это-то мне и хотелось выяснить в первую очередь, всякое бывает). С другой стороны, подобные тождества обычно происходят от каких-то тождеств с многочленами. Как получать такие тождества с многочленами --- отдельный вопрос, здесь возможны разные подходы. Я использую довольно стандартную технику (разложение в бесконечные ряды и перемена порядка суммирования). Поскольку в данном случае бесконечные ряды --- это что-то типа геометрических прогрессий, данную технику с некоторой натяжкой можно назвать школьной. Более мощная техника --- это, конечно, вычеты из ТФКП. Но в данном примере она не работает: каждую из сумм по отдельности, по-видимому, нельзя вычислить, можно только "перелопатить" одну в другую. Деталей здесь хватает, я написал по этому поводу (вычисление конечных тригонометрических сумм) целую статью для "Мат. просвещения", выйдет в ближайшем выпуске.

UPD. По-видимому, статья будет опубликована в следующем году (в вып. 22 "МП", который уже вышел из печати, ее нет по техническим причинам).

[quote="nnosipov"][/quote]
Amer. Math. Monthly у меня с 001-144, а дальше не могу найти бесплатно. С 1997 года за одну страниу нужно заплатить 1$. Раздел Задачи и решения это где-то 19 стр - 19$.
Математическое просвещение тоже есть все выпуски, кроме №21. Ваша статья наверное выйдет в №22. Будет возможность - с удовольствием познакомлюсь.
Зато в процессе решения нашел понравившеюся мне старую книгу по тригонометрии, перепечатанную в серии "Mishigan Historical Reprint Series" S.L.Loney . Plane Trigonometry, Cambridgt, 1893, котрая к сожалению не помогла. Но там много интересных задач по тригонометрии.

_________________
Сопротивление бесполезно.

vyv2, ответил в ЛС.

Кстати, можно добавить пару двоечек: $\sum_{j=0}^{N-1} j^2\tan{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N^2}{2}\sum_{j=1}^{N-1} (-1)^j\cot{\frac{\pi j}{N}}$ (легко следует из тождества в стартовом сообщении).

Неожиданное и абсолютно элементарное (т.е. школьное) решение см. по ссылке https://dxdy.ru/topic134153.html