Внучке 9 класс в школе дали задачку:
Можно ли треугольник с периметром 30 вписать в окружность радиусом 5?

_________________
Сопротивление бесполезно.

стороны треугольника-хорды этой окружности и они не больше диаметра , диаметром может быть только одна из сторон , значит сумма двух сторон меньше 20 и сумма трех меньше 30 ( независимо от того , является третья сторона диаметром или нет)
ответ-нет

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Меняем 30 на 29,9 - и ваше решение перестает проходить.

А вообще 9-й класс - это третий год изучения планиметрии. Так что можно спокойно попросить найти треугольник максимального периметра, вписанный в окружность радиуса 5. Причем с доказательством максимальности, а не только ответ в стиле ЕГЭ.

Без доказательства - задача вообще устная.

Можно также предложить устное "почти-доказательство" (по модулю очевидного из общих соображений факта существования экстремального треугольника): если у треугольника есть две неравные стороны, то малым шевелением общей вершины этих сторон можно увеличить периметр (мы увеличиваем произведение длин этих сторон, а значит, и квадрат суммы их длин --- ничего, кроме теоремы косинусов, здесь не нужно).

Что-то подобное я и имел в виду. Правда минимальными усилиями "почти-доказательство" становится "совсем-доказательством" Хотя лучше бы обойтись без теоремы косинусов, либо подвигав вершину параллельно стороне, либо рассмотрев пересечение эллипса и окружности.

Но для нынешнего среднего школьника и "почти" и "совсем" - уже не устные

UPD. "Подвигать параллельно" прямо связано с общеизвестной задачей: построить на заданной прямой l точку X, такую, что AX+BX минимально, где A и B - заданные точки.

Олимпиада 11 класса. Задача 5

ДВИ МГУ задача по геометрии