Я придумал какое-то, как мне кажется, корявенькое решение для этой задачки. 1. Надо установить, что фаза выражения под логарифмом 0, т.е. оно действительно положительное число. Здесь на ум приходят всякие простые утверждения для всяких простых чисел, что если рассматривать какую-нибудь последовательность, скажем, 1,2,3,4,5 то начиная с любой позиции шажками по 3 вы попадете в любое из данных чисел. Ок, это упражнение простое и достаточно наглядно. 2. Собственно, прошлые рассуждения можно оформить чуть грамотнее. Очевидно, что стоящий знаменатель 2015 обязан быть числом нечетным(давайте обобщим задачу, 2015=2n+1). Если a взаимно просто с 2n+1, то значения b=1...2n+1, пройдут всевозможные фазы в экспоненте ровно по разу (1,2,3,..2n+1)*2pi/(2n+1). Итого, перед нами встает задача научиться вычислять произведения вот таких выражений 1+ экспонента, с нарастающей от 1 до 2n+1 фазами. Поскольку полная фаза 0, достаточно вычислять произведение модулей этих выражений и простая тригонометрия позволяет свести это к произведению косинусов. Вот здесь я довольно серьезно застрял, т.к. откровенно забыл прием, решающий эти произведения. Здесь я себе просто позволил отослать себя к википедии, где есть эта формула произведения косинусов(обидно, я когда-то ее умел доказывать, но сейчас что-то забыл). Важный результат этого произведения- это просто степень двойки, независящая от n! 3. Казалось бы теперь эту степень двойки возводим в степень 2n+1 (а было взято произвольно взаимно простое с 2n+1), но сразу ошибаемся- очень важно, чтобы была эта взаимная простота a с 2n+1. Если ее нет, все примерно сохраняется, но мы просто успеваем засчет b намотать круги по комплексному кругу НОД(2n+1,a) раз. Вот их то и надо учитывать. У 2015 разложение по простым множителям 5,13,31,5*13,5*31,13*31,5*13*31. Вот их и надо учесть в этих исключительных случаях для a(например для случая НОД=5, надо учесть 5,10,15,20,25..... и т.д.). Сделав это и сложив все степени получите нужный ответ. Условно говоря, ответом к подобной задаче будет являться сумма НОД(2n+1,k) для k=1,..,2n+1.
Я немного увлекся и потому пишу это все только под утро). Понимаю, что читать это трудно(если вообще возможно), но возможно увлеченные задачкой найдут здесь знакомые нотки рассуждений и увидят что-то интересное. Стоит отметить, что в полном смысле задачу я так и не дорешал- забыл произведение косинусов как найти. Смех в том, что вероятнее всего надо будет вернуться обратно к разложению через экспоненту и раскрыть скобки. Но, честно сказать, коэффициенты разложения при каждой экспоненте кажутся какими-то уродливыми, что принимать это как метод решения кажется мне вычурным. У такой задачи обязано должно быть красивое и элегантное решение в несколько строчек!)
hpbhpb
Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
