Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача из серии <The Putnam Archive>
 Сообщение Добавлено: 17 июл 2019, 17:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
Посчитаем?


Вложения:
Безымянный.png
Безымянный.png [ 11.4 KIB | Просмотров: 7271 ]


Последний раз редактировалось Эльман Мавло 04 сен 2019, 21:15, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 18 июл 2019, 14:29 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
Эльман Мавло писал(а):
.


Подробности:
Ответ: `13725`


Последний раз редактировалось hpbhpb 18 июл 2019, 21:40, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 18 июл 2019, 19:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
`2009 quad longrightarrow quad 10733.`

`2011 quad longrightarrow quad 4021.`

`2013 quad longrightarrow quad 12705.`

`2015 quad longrightarrow quad ...`

`2017 quad longrightarrow quad 4033.`

`2019 quad longrightarrow quad 6725.`

`2021 quad longrightarrow quad 7905.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 18 июл 2019, 21:42 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
Подробности:
OlG писал(а):
`2009 quad longrightarrow quad 10733.`

`2011 quad longrightarrow quad 4021.`

`2013 quad longrightarrow quad 12705.`

`2015 quad longrightarrow quad ...`

`2017 quad longrightarrow quad 4033.`

`2019 quad longrightarrow quad 6725.`

`2021 quad longrightarrow quad 7905.`


Спасибо большое, OlG! Я подправил ответ (выше). Теперь правильно?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 18 июл 2019, 21:44 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
Да, теперь - правильно.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 18 июл 2019, 21:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
OlG писал(а):
Да, теперь - правильно.


Спасибо ещё раз! Я очень Вам благодарен.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 19 июл 2019, 12:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
Если не сложно можете решение скинуть свое.
Благодарю заранее.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 19 июл 2019, 14:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
Эльман Мавло писал(а):
Если не сложно можете решение скинуть свое.
Благодарю заранее.


Несложно. Завтра, наверное, выложу решение здесь.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 20 июл 2019, 07:13 
Не в сети

Зарегистрирован: 25 янв 2017, 02:28
Сообщений: 7
Я придумал какое-то, как мне кажется, корявенькое решение для этой задачки.
1. Надо установить, что фаза выражения под логарифмом 0, т.е. оно действительно положительное число. Здесь на ум приходят всякие простые утверждения для всяких простых чисел, что если рассматривать какую-нибудь последовательность, скажем, 1,2,3,4,5 то начиная с любой позиции шажками по 3 вы попадете в любое из данных чисел. Ок, это упражнение простое и достаточно наглядно.
2. Собственно, прошлые рассуждения можно оформить чуть грамотнее. Очевидно, что стоящий знаменатель 2015 обязан быть числом нечетным(давайте обобщим задачу, 2015=2n+1). Если a взаимно просто с 2n+1, то значения b=1...2n+1, пройдут всевозможные фазы в экспоненте ровно по разу (1,2,3,..2n+1)*2pi/(2n+1). Итого, перед нами встает задача научиться вычислять произведения вот таких выражений 1+ экспонента, с нарастающей от 1 до 2n+1 фазами. Поскольку полная фаза 0, достаточно вычислять произведение модулей этих выражений и простая тригонометрия позволяет свести это к произведению косинусов. Вот здесь я довольно серьезно застрял, т.к. откровенно забыл прием, решающий эти произведения. Здесь я себе просто позволил отослать себя к википедии, где есть эта формула произведения косинусов(обидно, я когда-то ее умел доказывать, но сейчас что-то забыл). Важный результат этого произведения- это просто степень двойки, независящая от n!
3. Казалось бы теперь эту степень двойки возводим в степень 2n+1 (а было взято произвольно взаимно простое с 2n+1), но сразу ошибаемся- очень важно, чтобы была эта взаимная простота a с 2n+1. Если ее нет, все примерно сохраняется, но мы просто успеваем засчет b намотать круги по комплексному кругу НОД(2n+1,a) раз. Вот их то и надо учитывать. У 2015 разложение по простым множителям 5,13,31,5*13,5*31,13*31,5*13*31. Вот их и надо учесть в этих исключительных случаях для a(например для случая НОД=5, надо учесть 5,10,15,20,25..... и т.д.). Сделав это и сложив все степени получите нужный ответ. Условно говоря, ответом к подобной задаче будет являться сумма НОД(2n+1,k) для k=1,..,2n+1.

Я немного увлекся и потому пишу это все только под утро). Понимаю, что читать это трудно(если вообще возможно), но возможно увлеченные задачкой найдут здесь знакомые нотки рассуждений и увидят что-то интересное. Стоит отметить, что в полном смысле задачу я так и не дорешал- забыл произведение косинусов как найти. Смех в том, что вероятнее всего надо будет вернуться обратно к разложению через экспоненту и раскрыть скобки. Но, честно сказать, коэффициенты разложения при каждой экспоненте кажутся какими-то уродливыми, что принимать это как метод решения кажется мне вычурным. У такой задачи обязано должно быть красивое и элегантное решение в несколько строчек!)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная задача с произведением логарифмов.
 Сообщение Добавлено: 20 июл 2019, 11:41 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
К сожалению, не всё получилось строго доказать в данной задаче. Выкладываю пока, как есть. Может, OlG поможет. Тогда отредактирую уже окончательно.


Вложения:
2019-07-17 (Вычисление произведений) - 005.pdf [266.34 KIB]
Скачиваний: 138
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: