`arc ctg 2+arc ctg 3= arc ctg (2+3)/(2*3-1)=arc ctg 1=pi/4.`
OlG писал(а):
3. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(2/k^2).`
4. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg((8k)/(k^4-2k^2+5)).`
5. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k)-sqrt(k-1))/(sqrt(k+1)sqrt(k))).`
3. `sum_(k=1)^(infty) arc tg(2/k^2)= sum_(k=1)^(infty) arc tg(((k+1)-(k-1))/(1+(k+1)(k-1)))=lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) (arc tg(k+1)-arc tg(k-1))=`
`=-arc tg 0 - arc tg 1 + lim_(n -> infty) (arc tg (n)+arc tg(n+1))=0-pi/4+pi/2+pi/2=3/4 pi.`
4. `sum_(k=1)^(infty) arc tg((8k)/(k^4-2k^2+5))=sum_(k=1)^(infty) arc tg((((k+1)/sqrt2)^2-((k-1)/sqrt2)^2)/(1+((k+1)/sqrt2)^2*((k-1)/sqrt2)^2))=lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) (arc tg((k+1)/sqrt2)^2-arc tg((k-1)/sqrt2)^2)=`
`=-arc tg 0 - arc tg 1/2 + lim_(n -> infty) (arc tg (n/sqrt2)^2+arc tg((n+1)/sqrt2)^2)=0-arc tg 1/2+pi/2+pi/2= pi-arc tg 1/2.`
5. `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k)-sqrt(k-1))/(sqrt(k+1)sqrt(k)))=lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) (arcsin( 1/sqrt(k))-arcsin (1/sqrt(k+1)))=`
`=arcsin 1-lim_(n -> infty) arcsin (1/sqrt(n+1))=pi/2-0=pi/2.`
