Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки

Текущее время: 11 окт 2024, 02:29
Часовой пояс: UTC + 3 часа
Сообщения без ответов | Активные темы
 



 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 25 ] На страницу 1, 2, 3  След.
Начать новую тему">
Ответить

Найти сумму бесконечного ряда.

Автор Сообщение
Эльман Мавло
 Заголовок сообщения: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 05 авг 2019, 17:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
:text-welcomewave:
Получилось pi/6


Вложения:
Безымянный.png
Безымянный.png [ 7.23 KIB | Просмотров: 6117 ]
Вернуться наверх 
Kirill Kolokolcev
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2019, 01:25 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1652
Откуда: Москва
Эльман Мавло писал(а):
:text-welcomewave:
Получилось pi/6

У меня получилось `\arctan(1/2)+\frac{\pi}6`
Вернуться наверх 
OlG
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2019, 11:54 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
Kirill Kolokolcev писал(а):
У меня получилось `\arctan(1/2)+\frac{\pi}6`

Да.

_________________
Никуда не тороплюсь!
Вернуться наверх 
Эльман Мавло
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 12 авг 2019, 22:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
Еще есть мнение на счет данной задачи?
Вернуться наверх 
ar54
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 15 авг 2019, 21:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 897
Эльман Мавло писал(а):
Еще есть мнение на счет данной задачи?

1) Непосредственное численное вычисление суммы ряда (ряд очень быстро сходится) показывает, что верен ответ `arctan(1/2)+pi/6`;
2) Скажите, а откуда эта задача? Не мог бы кто порекомендовать литературу по решению задач такого типа?
3) Не могли бы Вы представить набросок своего решения (или хотя бы описать ключевую идею) этой задачи?
4) Спасибо за интересные задачки!
Вернуться наверх 
OlG
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 19:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
Подробности:

Подробности:

ar54 писал(а):
... набросок ... решения ...

`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( 2*(((3sqrt(3)-5)(2+sqrt3)^k+(3sqrt(3)+5)(2-sqrt3)^k)/(2sqrt3))^2)=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2n)+(sqrt(3)-1)^(2n))/((sqrt(3)+1)^(2n)-(sqrt(3)-1)^(2n)))=arc ctg 2+pi/6.`

_________________
Никуда не тороплюсь!
Вернуться наверх 
OlG
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 20:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
Подробности:
`2^2=3*1^2+1, qquad (2/1)^2=3+(1/1)^2 quad.`

`7^2=3*4^2+1, qquad (7/4)^2=3+(1/4)^2 quad.`

`26^2=3*15^2+1, qquad ((26)/(15))^2=3+(1/(15))^2 quad.`

`97^2=3*56^2+1, qquad ((97)/(56))^2=3+(1/(56))^2 quad.`

`362^2=3*209^2+1, qquad ((362)/(209))^2=3+(1/(209))^2 quad.`

`1351^2=3*780^2+1, qquad ((1351)/(780))^2=3+(1/(780))^2 quad.`

`...`

`(((sqrt(3)+1)^(2k)+(sqrt(3)-1)^(2k))/(2^(k+1)))^2=3*(((sqrt(3)+1)^(2k)-(sqrt(3)-1)^(2k))/(sqrt(3)*2^(k+1)))^2+1, qquad ( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2n)+(sqrt(3)-1)^(2n))/((sqrt(3)+1)^(2n)-(sqrt(3)-1)^(2n)))^2=3+(1/(((sqrt(3)+1)^(2k)-(sqrt(3)-1)^(2k))/(sqrt(3)*2^(k+1))))^2 quad.`

_________________
Никуда не тороплюсь!
Вернуться наверх 
ar54
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 21:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 897
OlG писал(а):
И тишина...
:)

OlG писал(а):
Подробности:
...
`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( 2*(((3sqrt(3)-5)(2+sqrt3)^k+(3sqrt(3)+5)(2-sqrt3)^k)/(2sqrt3))^2)=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2n)+(sqrt(3)-1)^(2n))/((sqrt(3)+1)^(2n)-(sqrt(3)-1)^(2n)))=arc ctg 2+pi/6.`
Спасибо большое, OlG!
Общий член последовательности `u_n` я нашел, а дальше - не пошло. Пока еще ваши преобразования для меня не очевидны . Особенно удивительным мне кажется исчезновение суммы после 3-го знака равенства в цепочке, т.е. получается, что
`lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) arc ctg(f_k)= lim_(n -> infty) arc ctg( g_n)` ???
-- буду разбираться. Еще раз - большое спасибо!
Вернуться наверх 
OlG
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 16 авг 2019, 21:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
Подробности:
`1^2=3*1^2-1, qquad (1/1)^2=3-2/(1^2) quad.`

`5^2=3*3^2-1, qquad (5/3)^2=3-2/(3^2) quad.`

`19^2=3*11^2-1, qquad ((19)/(11))^2=3-2/(11^2) quad.`

`71^2=3*41^2-1, qquad ((71)/(41))^2=3-2/(41^2) quad.`

`265^2=3*153^2-1, qquad ((265)/(153))^2=3-2/(153^2) quad.`

`989^2=3*571^2-1, qquad ((989)/(571))^2=3-2/(571^2) quad.`

`3691^2=3*2131^2-1, qquad ((3691)/(2131))^2=3-2/(2131^2) quad.`

`...`

Подробности:

`sum_(k=1)^(1) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)= arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2*1)+(sqrt(3)-1)^(2*1))/((sqrt(3)+1)^(2*1)-(sqrt(3)-1)^(2*1))) quad.`

`sum_(k=1)^(2) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)= arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2*2)+(sqrt(3)-1)^(2*2))/((sqrt(3)+1)^(2*2)-(sqrt(3)-1)^(2*2))) quad.`

`sum_(k=1)^(3) arc ctg( 2*(((sqrt(3)+1)^(2k-1)+(sqrt(3)-1)^(2k-1))/(sqrt(3)*2^k))^2)= arc ctg( sqrt(3)*((sqrt(3)+1)^(2*3)+(sqrt(3)-1)^(2*3))/((sqrt(3)+1)^(2*3)-(sqrt(3)-1)^(2*3))) quad.`

`...`

_________________
Никуда не тороплюсь!
Вернуться наверх 
Эльман Мавло
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 19 авг 2019, 22:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
Хоп-Хей Лайла-Лей, Всем Общий Салам! :ymhug:
Выкладываю свое решение данной задачи! Ответ мой не сошелся, но все же попытаюсь!


Вложения:
Безымянный.png
Безымянный.png [ 21.39 KIB | Просмотров: 5668 ]
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 25 ] На страницу 1, 2, 3  След.

Список форумов » Просмотр темы - Найти сумму бесконечного ряда.

Текущее время: 11 окт 2024, 02:29 | Часовой пояс: UTC + 3 часа
Удалить cookies форума | Наша команда | Вернуться наверх

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: