| Автор |
Сообщение |
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.  Добавлено: 20 авг 2019, 04:48 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
|
Коротко (начиная с пятой строчки): `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg (2*u_(1)^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( (4*u_(k)^2)/2)=arc ctg (2*1^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( u_(k+1)*u_(k)+u_(k)*u_(k-1))/(u_(k-1)*u_(k+1)-u_(k)^2))=` `=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( (u_(k+1)/u_(k))*(u_(k)/u_(k-1))+1)/((u_(k+1)/u_(k))-(u_(k)/u_(k-1))))=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) (arc ctg(u_(k)/u_(k-1))-arc ctg(u_(k+1)/u_(k)))=` `=arc ctg 2+ lim_(n -> infty)(arc ctg(u_(2)/u_(1))- arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+ (arc ctg(u_(2)/u_(1))-lim_(n -> infty) arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+(pi/4-pi/(12))=` `=arc ctg 2+pi/6.`
_________________
Никуда не тороплюсь!
|
|
  |
|
|
|
|
|
|
|
Эльман Мавло
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 26 авг 2019, 15:25 |
|
Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
|
OlG писал(а): Коротко (начиная с пятой строчки): `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg (2*u_(1)^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( (4*u_(k)^2)/2)=arc ctg (2*1^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( u_(k+1)*u_(k)+u_(k)*u_(k-1))/(u_(k-1)*u_(k+1)-u_(k)^2))=` `=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( (u_(k+1)/u_(k))*(u_(k)/u_(k-1))+1)/((u_(k+1)/u_(k))-(u_(k)/u_(k-1))))=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) =arc ctg 2+ lim_(n -> infty)(arc ctg(u_(2)/u_(1))- arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+ (arc ctg(u_(2)/u_(1))-lim_(n -> infty) arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+(pi/4-pi/(12))=arc ctg 2+pi/6.` Спасибо большое, за исправления ошибок. Большой Вам, рахмет
|
|
| |
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 27 авг 2019, 02:28 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
|
ar54 писал(а): Скажите, а откуда эта задача? 1. Дана последовательность `u_(1)=2, quad u_(2)=8, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).` Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( u_(k)^2)=pi/(12).` Norman Herbert Anning, журнал American Mathematical Mounthly, 1925. 2. Дана последовательность `u_(1)=1, quad u_(2)=3, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).` Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg(2* u_(k)^2)=pi/6.` Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926.
_________________
Никуда не тороплюсь!
|
|
| |
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 27 авг 2019, 02:47 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
|
|
3. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(2/k^2).`
4. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg((8k)/(k^4-2k^2+5)).`
5. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k)-sqrt(k-1))/(sqrt(k+1)sqrt(k))).`
_________________
Никуда не тороплюсь!
Последний раз редактировалось OlG 29 авг 2019, 13:15, всего редактировалось 1 раз.
|
|
| |
|
|
|
|
ar54
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 27 авг 2019, 10:34 |
|
Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 897
|
OlG писал(а): ar54 писал(а): Скажите, а откуда эта задача? 1. Дана последовательность `u_(1)=2, quad u_(2)=8, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).` Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( u_(k)^2)=pi/(12).` Norman Herbert Anning, журнал American Mathematical Mounthly, 1925. 2. Дана последовательность `u_(1)=1, quad u_(2)=3, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).` Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg(2* u_(k)^2)=pi/6.` Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926. Уважаемый OlG! Извините, что не отписываюсь по теме - просто сейчас нет достаточно времени(только из отпуска - навалилось много работы), чтобы что-то обстоятельно написать в ответ на Ваши столь содержательные сообщения. Но время прочитать Ваши сообщения находится, и я испытываю истинное удовольствие от Ваших красивых и изящных решений - спасибо Вам большое!
|
|
| |
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 29 авг 2019, 13:14 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
|
|
6. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(1/(2k^2)).`
7. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(1/(k^2+k+1)).`
8. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k^2+2k)-sqrt(k^2-1))/(k(k+1))).`
_________________
Никуда не тороплюсь!
|
|
| |
|
|
|
|
Эльман Мавло
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 31 авг 2019, 19:31 |
|
Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
|
|
| |
|
|
|
|
hpbhpb
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 31 авг 2019, 21:00 |
|
Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2290
Откуда: Ставрополь
|
Эльман Мавло писал(а): И все же я был прав. Ответ к задаче pi/6  Правильный ответ к задаче такой же, как у Кирилла и у OlG: `arctan(1/2)+pi/6`. Это элементарно проверяется в excel минуты за две. А Ваш ответ неправильный.
|
|
| |
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 31 авг 2019, 21:21 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6868
Откуда: Москва
|
Эльман Мавло писал(а): И все же я был прав. Ответ к задаче pi/6 Найти одно отличие в условиях двух задач. Первая (Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926):Вложение:
Первая.pdf [18.86 KIB]
Скачиваний: 880
Вторая (Эльман Мавло, alexlarin.com, 2019):Вложение:
Вторая.pdf [34.24 KIB]
Скачиваний: 917
_________________
Никуда не тороплюсь!
|
|
| |
|
|
|
|
hpbhpb
|
Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда. Добавлено: 02 сен 2019, 15:17 |
|
Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2290
Откуда: Ставрополь
|
OlG писал(а): 2.[/b] [/size] Дана последовательность `u_(1)=1, quad u_(2)=3, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).`
Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg(2* u_(k)^2)=pi/6.`
Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926. Решается точно так же, как Вы и решали задачу, указанную в первом сообщении данной темы. Коротко (начиная с пятой строчки): `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg (2*u_(1)^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( (4*u_(k)^2)/2)=arc ctg (2*1^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( u_(k+1)*u_(k)+u_(k)*u_(k-1))/(u_(k-1)*u_(k+1)-u_(k)^2))=` `=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( (u_(k+1)/u_(k))*(u_(k)/u_(k-1))+1)/((u_(k+1)/u_(k))-(u_(k)/u_(k-1))))=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) (arc ctg(u_(k)/u_(k-1))-arc ctg(u_(k+1)/u_(k)))=` `=arc ctg 2+ lim_(n -> infty)(arc ctg(u_(2)/u_(1))- arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+ (arc ctg(u_(2)/u_(1))-lim_(n -> infty) arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+(arc ctg(3)-pi/(12))=(arc ctg 2+arc ctg(3))-pi/(12)=pi/4-pi/12=pi/6`, ч.т.д.
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
