Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 25 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 20 авг 2019, 04:48 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
Подробности:
Изображение

Коротко (начиная с пятой строчки):

`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg (2*u_(1)^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( (4*u_(k)^2)/2)=arc ctg (2*1^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( u_(k+1)*u_(k)+u_(k)*u_(k-1))/(u_(k-1)*u_(k+1)-u_(k)^2))=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( (u_(k+1)/u_(k))*(u_(k)/u_(k-1))+1)/((u_(k+1)/u_(k))-(u_(k)/u_(k-1))))=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) (arc ctg(u_(k)/u_(k-1))-arc ctg(u_(k+1)/u_(k)))=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty)(arc ctg(u_(2)/u_(1))- arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+ (arc ctg(u_(2)/u_(1))-lim_(n -> infty) arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+(pi/4-pi/(12))=`

`=arc ctg 2+pi/6.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 26 авг 2019, 15:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
OlG писал(а):
Подробности:
Изображение

Коротко (начиная с пятой строчки):

`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg (2*u_(1)^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( (4*u_(k)^2)/2)=arc ctg (2*1^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( u_(k+1)*u_(k)+u_(k)*u_(k-1))/(u_(k-1)*u_(k+1)-u_(k)^2))=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( (u_(k+1)/u_(k))*(u_(k)/u_(k-1))+1)/((u_(k+1)/u_(k))-(u_(k)/u_(k-1))))=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) =arc ctg 2+ lim_(n -> infty)(arc ctg(u_(2)/u_(1))- arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+ (arc ctg(u_(2)/u_(1))-lim_(n -> infty) arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+(pi/4-pi/(12))=arc ctg 2+pi/6.`


Спасибо большое, за исправления ошибок. Большой Вам, рахмет


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 27 авг 2019, 02:28 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
ar54 писал(а):
Скажите, а откуда эта задача?

1. Дана последовательность `u_(1)=2, quad u_(2)=8, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).`

Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( u_(k)^2)=pi/(12).`

Norman Herbert Anning, журнал American Mathematical Mounthly, 1925.

2. Дана последовательность `u_(1)=1, quad u_(2)=3, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).`

Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg(2* u_(k)^2)=pi/6.`

Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 27 авг 2019, 02:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
3. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(2/k^2).`

4. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg((8k)/(k^4-2k^2+5)).`

5. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k)-sqrt(k-1))/(sqrt(k+1)sqrt(k))).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Последний раз редактировалось OlG 29 авг 2019, 13:15, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 27 авг 2019, 10:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 876
OlG писал(а):
ar54 писал(а):
Скажите, а откуда эта задача?

1. Дана последовательность `u_(1)=2, quad u_(2)=8, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).`

Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg( u_(k)^2)=pi/(12).`

Norman Herbert Anning, журнал American Mathematical Mounthly, 1925.

2. Дана последовательность `u_(1)=1, quad u_(2)=3, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).`

Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg(2* u_(k)^2)=pi/6.`

Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926.

Уважаемый OlG!
Извините, что не отписываюсь по теме - просто сейчас нет достаточно времени(только из отпуска - навалилось много работы), чтобы что-то обстоятельно написать в ответ на Ваши столь содержательные сообщения. Но время прочитать Ваши сообщения находится, и я испытываю истинное удовольствие от Ваших красивых и изящных решений - спасибо Вам большое!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 29 авг 2019, 13:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
6. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(1/(2k^2)).`

7. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(1/(k^2+k+1)).`

8. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k^2+2k)-sqrt(k^2-1))/(k(k+1))).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 31 авг 2019, 19:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 июл 2019, 17:49
Сообщений: 19
И все же я был прав. Ответ к задаче pi/6 :banana-dance:


Вложения:
20190831_193229.png
20190831_193229.png [ 67.08 KIB | Просмотров: 2675 ]
20190831_193121.png
20190831_193121.png [ 243.79 KIB | Просмотров: 2675 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 31 авг 2019, 21:00 
В сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
Эльман Мавло писал(а):
И все же я был прав. Ответ к задаче pi/6 :banana-dance:


Правильный ответ к задаче такой же, как у Кирилла и у OlG:
`arctan(1/2)+pi/6`.
Это элементарно проверяется в excel минуты за две. А Ваш ответ неправильный.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 31 авг 2019, 21:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6469
Откуда: Москва
Эльман Мавло писал(а):
И все же я был прав. Ответ к задаче pi/6 :banana-dance:

9. Найти одно отличие в условиях двух задач.

Первая (Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926):
Вложение:
Первая.pdf [18.86 KIB]
Скачиваний: 634


Вторая (Эльман Мавло, alexlarin.com, 2019):
Вложение:
Вторая.pdf [34.24 KIB]
Скачиваний: 661

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2019, 15:17 
В сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1415
Откуда: Ставрополь
OlG писал(а):
2.[/b] [/size] Дана последовательность `u_(1)=1, quad u_(2)=3, quad...quad, quad u_(n)=4u_(n-1)-u_(n-2) quad (n=3, quad 4, quad 5 quad...).`

Доказать, что `sum_(k=1)^(infty) arc ctg(2* u_(k)^2)=pi/6.`

Alexander Craig Aitken, журнал American Mathematical Mounthly, 1926.


Решается точно так же, как Вы и решали задачу, указанную в первом сообщении данной темы.

Коротко (начиная с пятой строчки):

`sum_(k=1)^(infty) arc ctg( 2*u_(k)^2)=arc ctg (2*u_(1)^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg( (4*u_(k)^2)/2)=arc ctg (2*1^2)+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( u_(k+1)*u_(k)+u_(k)*u_(k-1))/(u_(k-1)*u_(k+1)-u_(k)^2))=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) arc ctg(( (u_(k+1)/u_(k))*(u_(k)/u_(k-1))+1)/((u_(k+1)/u_(k))-(u_(k)/u_(k-1))))=arc ctg 2+ lim_(n -> infty) sum_(k=2)^(n) (arc ctg(u_(k)/u_(k-1))-arc ctg(u_(k+1)/u_(k)))=`

`=arc ctg 2+ lim_(n -> infty)(arc ctg(u_(2)/u_(1))- arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+ (arc ctg(u_(2)/u_(1))-lim_(n -> infty) arc ctg(u_(n+1)/u_(n)))=arc ctg 2+(arc ctg(3)-pi/(12))=(arc ctg 2+arc ctg(3))-pi/(12)=pi/4-pi/12=pi/6`, ч.т.д.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 25 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: