Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки




 Страница 3 из 3 [ Сообщений: 25 ] На страницу Пред.  1, 2, 3



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2019, 13:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6314
Откуда: Москва
`arc ctg 2+arc ctg 3= arc ctg (2+3)/(2*3-1)=arc ctg 1=pi/4.`

OlG писал(а):
3. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(2/k^2).`

4. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg((8k)/(k^4-2k^2+5)).`

5. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k)-sqrt(k-1))/(sqrt(k+1)sqrt(k))).`


3. `sum_(k=1)^(infty) arc tg(2/k^2)= sum_(k=1)^(infty) arc tg(((k+1)-(k-1))/(1+(k+1)(k-1)))=lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) (arc tg(k+1)-arc tg(k-1))=`

`=-arc tg 0 - arc tg 1 + lim_(n -> infty) (arc tg (n)+arc tg(n+1))=0-pi/4+pi/2+pi/2=3/4 pi.`

4. `sum_(k=1)^(infty) arc tg((8k)/(k^4-2k^2+5))=sum_(k=1)^(infty) arc tg((((k+1)/sqrt2)^2-((k-1)/sqrt2)^2)/(1+((k+1)/sqrt2)^2*((k-1)/sqrt2)^2))=lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) (arc tg((k+1)/sqrt2)^2-arc tg((k-1)/sqrt2)^2)=`

`=-arc tg 0 - arc tg 1/2 + lim_(n -> infty) (arc tg (n/sqrt2)^2+arc tg((n+1)/sqrt2)^2)=0-arc tg 1/2+pi/2+pi/2= pi-arc tg 1/2.`

5. `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k)-sqrt(k-1))/(sqrt(k+1)sqrt(k)))=lim_(n -> infty) sum_(k=1)^(n) (arcsin( 1/sqrt(k))-arcsin (1/sqrt(k+1)))=`

`=arcsin 1-lim_(n -> infty) arcsin (1/sqrt(n+1))=pi/2-0=pi/2.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2019, 15:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 819
Откуда: Ставрополь
Спасибо большое, OlG, за задания и за красивые решения!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2019, 17:05 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 819
Откуда: Ставрополь
OlG писал(а):
6. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(1/(2k^2)).`



Одно из возможных решений.


Вложения:
2019-08-29 (Сумма ряда-6) - 002.pdf [118.84 KIB]
Скачиваний: 45
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2019, 17:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 819
Откуда: Ставрополь
OlG писал(а):

7. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arc tg(1/(k^2+k+1)).`



Одно из возможных решений.


Вложения:
2019-08-29 (Сумма ряда-7) - 002.pdf [118.79 KIB]
Скачиваний: 51
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Найти сумму бесконечного ряда.
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2019, 18:02 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 819
Откуда: Ставрополь
OlG писал(а):
8. Вычислить сумму `sum_(k=1)^(infty) arcsin((sqrt(k^2+2k)-sqrt(k^2-1))/(k(k+1))).`


Одно из возможных решений.


Вложения:
2019-08-29 (Сумма ряда-8) - 004.pdf [121.91 KIB]
Скачиваний: 48
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 3 из 3 [ Сообщений: 25 ] На страницу Пред.  1, 2, 3





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: